在文章《有趣的求极限题:随心所欲的放缩》中,读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法,然而这位读者写得并非特别清晰,更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的,于是自行分析了一番,给出了以下解释。

胡闹的结果

假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言,我们用下标来标注不同的数,如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$,可是有的人偏不喜欢,他们更喜欢用上标来表示数列中的各项,他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了:这不是胡闹吗,这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗?可是那人干脆更胡闹一些,把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧?他干脆把$A$当作一个数来处理了!太胡闹了,$A$是个什么东西?估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。

可是换个角度想想,似乎未尝不可。

我们把$A$是为一个线性算子,它$k$次作用于实数$x$后,产生$A_k x$,也就是说$A^k x=A_k x$。那么我们把$\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$作用于实数$1$,自然就得到原始的级数了。这样做有什么好处呢?如果是求$n\to\infty$的极限,就有些好玩的东西了:
$$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}\\
=&\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{A}{n}\right)^n\\
=&e^A\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A_k\end{aligned}$$

这里我们实现了从一个级数到另外一个级数的转化!这里是基于$A$是线性算子的结果,而且由于只引入了一个算子,并不存在非交换代数的问题,因此,一切运算规律保持着!

胡闹的胜利

现在我们来看看胡闹的结果有什么应用?假设$A_k=\frac{k!}{2^k}$,计算我们原始级数的极限,即
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{(2n)^k}$$
似乎并没有什么简单的技巧做这件事。

但是,利用我们胡闹的结果,就显得比较简单,也就是
$$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}\\
=&e^A\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A_k\\
=&\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k\\
=&2\end{aligned}$$

这正好是最终的正确结果!

读者同样可以构造一些其他的例子,笔者愚钝,只想到了这么一个简单的例子。

现在,我们在来看文章《有趣的求极限题:随心所欲的放缩》中读者“最近倒了”的解法。原题是
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}$$
对于分子中的级数求和,我们有(请参考维基百科的“伯努利数”)
$$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k m^{n+1-k}$$
于是我们有
$$\sum_{k=0}^{n} k^n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k (n+1)^{n+1-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k} B_k (n+1)^{n-k}$$
根据上面的“胡闹”,将$B$看成算子,$B^k=B_k$,那么上式就是
$$\sum_{k=0}^{n} k^n = (B+n+1)^n$$
于是
$$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}\\
=&\lim_{n\to\infty} \frac{(B+n+1)^n}{n^n}\\
=&\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{B+1}{n}\right)^n\\
=& e^{B+1} =e\times e^B\end{aligned}$$
注意到
$$e^B=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}B_k=\frac{1}{e-1}$$
正好是伯努利数的母函数定义的结果!于是
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}$$

微妙之处

将数列与算子的幂一一对应的微妙,笔者还不能完全领悟到。隐约感觉到,它和母函数法应该有紧密的联系。如有进一步的结果,笔者再来与大家分享。


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