比萨斜塔.jpg在初中或高中,自由落体试验简单地用这个公式来描述出来:
$s=1/2 g t^2$
其中$g=9.8m//s^2$,等于1kg物体在地球表面所受的重力。
但是这个公式很明显有一个问题,就是实际上在地球,g不是恒定的,会随着距离(即海拔高度)的变化而变化,上述公式能够在一定范围内描述自然落体运动。但是当距离很大时,公式便失效了。例如以下问题:

一个希腊神话中提到一个天神的一块铁掉了,花了整整九天才到达地面,只考虑地球引力因素,计算“天的高度”。

这是国际天文竞赛中的一道题目,很显然不能用$s=1/2 g t^2$计算。经过查找资料,我发现了这一条公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 *arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$

它表示从距离场中心$r_0$时下落到距离场中心$r$时所需的时间。

可以证明,在$r_0$很接近$r$时,该公式近似于$s=1/2 g t^2$。

现在我们可以用新的公式来求解天文奥赛的那道题目了。

首先我们得有一个思想:实际上天文的理论都是比较复杂的,我们在平时应用的时候,要设法把它近似、简化,下面的计算中我们将会体现这个思想。

我们已经知道了$t=9*86400s$、$r=6.371*10^6 m$,求$r_0$。

我们可以粗略估计得到$r_0$定会比$r$大得很,于是$\sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}$必定很大,在这种情况之下我们可以认为$arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}=\frac{\pi}{2}$。

同样,可以近似把$\sqrt{r(r_0 -r)}$写成$\sqrt{r r_0}$。变为:

$t=sqrt{\frac{r_0}{2GM}} [\frac{\pi r_0}{2}+\sqrt{r r_0}]$,并且有$GM=R^2 g$。 令$\sqrt{r_0}=x$,有

$2rt\sqrt{2g}=\pi x^3+2\sqrt{r} x^2$

如果忽略$2\sqrt{r} x^2$,则可以解得:$x=24525,r_0=6*10^5km$
如果当$2\sqrt{r} x^2=x^3$,则可以解得:$x=22367,r_0=5*10^5km$

官方给出的答案为51万km。

当然,这不是官方的解法,我们也不用特意掌握这种解法。这里只提供一个思路和方法给研究天体物理学的朋友们!


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