海伦公式是已知三角形三边的长度$a,b,c$来求面积$S$的公式,是一个相当漂亮的公式,它不算复杂,同时它关于$a,b,c$是对称的,充分体现了三边的同等地位。可是,这样具有对称美的公式推导,往往要经过一个不对称的过程,比如维基百科上的证明,这未免有点美中不足。本文的目的,就是想为此补充一个对称的推导。本文题目为“物理推导”,关键在于“推导”而不是“证明”,同时这里的“物理”并非是通过物理类比而来,而是推导的思想和方法很具有“物理味道”。

$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

在推导开始之前,笔者给出一个评论:海伦公式似乎是由三边长求三角形面积的所有可能的公式之中最简单的一个。

基本假设

笔者说过,推导的思想和方法很具有“物理味道”,怎样才是具有“物理味道”呢?在理论物理中,物理学家往往基于一些很基本的假设,来推导出一个完整的物理定律来,然后再检验它是否跟实验吻合。爱因斯坦及其相对论,可谓是这一做法的先驱。现在我们套用类似的思路,基于一些基本的假设,直接把海伦公式构造出来。

下面记三角形的三边长为$a,b,c$,由三边长求三角形面积的公式为$S(a,b,c)$

基本假设

1、面积具有长度的平方的量纲,这大概是最基本的原则了。

2、$S(a,b,c)$是关于$a,b,c$对称的。我们没有理由拒绝这一点,因为我们没发现哪条边更特殊一些。而且对称性实际上有助于我们发现正确的公式。

3、$S(a,b,c)$的形式应当尽可能简洁。这一点则是强加的,物理学家希望物理定律尽可能简洁,因此他们在推导物理定律时,加入了简洁性原则,即所有可能的物理定律中,取最简单的那个。这个原则在数学中是否成立,还有待商榷,但是在海伦公式中,确实成立的。

已知事实

我们推导出来的公式,必须与一些我们熟知的简单的事实相符,这就是相容性的要求。我们已知的一些事实,可以列举如下:

4、当两边长之和等于第三边长时,面积为0,也就是$S(a,b,a+b)=0$;特别地,某一边为0时,面积为0。

5、直角三角形的面积公式我们是已知的,即$S(a,b,\sqrt{a^2+b^2})=\frac{1}{2}ab$。

推导过程

首先我们从对称性出发,由三边能够构造出来的对称式子有很多,最简单的就是$abc$,但是这个显然不符合第一条假设,它的量纲为长度的立方而不是长度的平方。改进它的办法很简单,只需要考虑
$$\left(abc\right)^{2/3}$$
这个公式不错,满足了三个假设,而且当某一边为0时,面积确实为0。可是它不能完全满足事实4,因为当$a=1,b=1,c=2$时,$\left(abc\right)^{2/3}$显然不为0,于是这个公式就被排除了。当然,能想出来的还有很多,比如$ac+bc+ab$也是满足三个假设的一条式子,但是当其中一边为0时,也得不到面积为0的结果,所以也被排除了。

事实4是一个很强的条件,而为了满足事实4,就希望两边长之和等于第三边长时,会出现一个0,而这最简单的实现方式是$a+b-c$,并且根据对称性要求,有
$$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
这条式子就可以满足对称性和事实4了,可是不满足最基本的量纲要求。我们可以将它平方后开三次方,也可以乘上一个长度后开平方。至于怎么做,我们根据事实5来确定。

这就来到了本文中最关键的部分,也是最物理的部分了。事实5是关于直角三角形的检验,我们可以直接把$c=\sqrt{a^2+b^2}$代入,但是由于带有根号(物理中有大量这种情况),显得麻烦(甚至做不下去),所以,我们不考虑完整的情况,只考虑无穷小的情况,假设$b$是一个无穷小量,从而
$$c=\sqrt{a^2+b^2}\approx a+\frac{b^2}{2a}$$
与$a$只相差一个二阶的无穷小量,从而在一阶的精度下,$c=a$。而直角三角形的面积是$\frac{1}{2}ab$,换句话说,边长为$a,b,a$的三角形,$b$为无穷小量,在一阶精度下,面积为$\frac{1}{2}ab$。将$a,b,c=a$代入$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$,得到
$$b\times b\times (2a-b) \approx 2ab^2$$
我们发现,只要乘上一个$a$,再开平方,就可以得到$ab$了,然而单单乘上一个$a$,是不满足对称性的,最简单,就是乘上$(a+b+c)$了,所以我们得到一个备选的公式为
$$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}$$
前面的系数是需要调整的,因为直接将$a,b,c=a$代入,得到的是
$$\sqrt{(2a+b)\times b\times b\times (2a-b) }\approx \sqrt{4a^2 b^2}=2ab$$
跟$\frac{1}{2}ab$还差个$\frac{1}{4}$,所以,一个基本满足三个假设和两个事实的备选的公式为
$$S(a,b,c)=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}$$

这正好是正确的海伦公式!到现在为止,我们“活生生”地把海伦公式构造出来了!当然,从整个推理逻辑来说,这只是备选的,是很有可能的一条公式,正确与否还需要证明。接下来是证明,证明是严格化的事情,而且不是什么高深内容,所以这里不给出了。

为什么要做这件事情?

为什么要对这个本身已经广为了解的公式做这样的事情?这个过程既不是严格证明,又没有得出什么新鲜东西,究竟有什么意义?对于实用派的朋友来说,至少在目前,这件事情是没有意义的。然而,仍然有可能会有一些意想不到的好处。

首先,我们做这件事情,或者说,不同的方法来完成同一件事情,有助于我们了解这件事情的本质,在比较各个思路中,会让我们发现各个思路的优缺点,从而找到每一个思路的要领;其次,这里是模拟式地给出一个推导过程,或者说,发现新公式的过程。这种过程,在引导物理发现时有着重要的意义,作为一个数学和物理的爱好者,我当然我希望,这种思路也能为数学带来些新鲜的活力——当然,这仅仅是个尝试,


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