欧几里得.jpg本文的主题是平行线,了解数学的朋友可能会想我会写有关非欧几何的内容。但这次不是,本文的内容纯粹是我们从小就开始学习的欧氏几何,基于“欧几里得第五公设”(又称平行公设)。但即便是从小就学习的欧氏几何中的平行线,也许里边的很多问题我们都没有思考清楚。因为平行是几何中非常基本的情形,因此,在讨论这种基本命题的时候,相当容易会出现循环论证、甚至本末倒置的情况。

我们从初中开始就被灌输“同位角相等,两直线平行”、“内错角相等,两直线平行”之类的平行线判断法则,当然,还少不了的是“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”。但是,这些内容之中,有多少是基本的公理,有多少是可以证明的,该如何证明,我想很多人都理解不清楚,我自己也没有一个很好的答案。那些在初中教授平行线的老师们,估计也没多少个能够把它说清楚的。后来我发现,我居然不会证明“同位角相等,两直线平行”,“欧几里得第五公设”好像并没有告诉我们这个判定法则呀。于是,我翻看了一下初中的数学教科书,发现原来当初“同位角相等,两直线平行”这一判定法则是不加证明地让我们接受的,无怪乎我怎么也想不到关于这一法则的简单的证明...

于是,我想写这篇文章,为大家理解平行线的整个逻辑提供一点参考。

找出平行线

一开始我们就声明我们只讨论欧氏几何,因此,我们承认如下公理:

过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。

当然,在欧几里得的《几何原本》中,更基本的是如下四条

1、从一点向另一点可以引一条直线。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都相等。

事实上,第一条公理中,还暗含了过两点只能作一条直线,第二条公理中,还暗含了所有直线的长度都是无限的。如果没有这些“暗含”,则以上的公理还不足以构成欧氏几何的基础。另外,不难证明“过两点只能作一条直线”等价于说“平面上两条不同的直线,最多只有一个交点”。

以上内容就是本文的基础了,当然,也是欧氏几何的基础。首先,第五公设说只有一条平行线,那么我们首先把它找出来,找出来的方法如下:

绿色线为已知直线,紫色点为已知点,过紫色点作已知直线的垂线。

注意,我们所做的每一步,都要考虑依据,以避免本末倒置的出现。为什么可以作出已知直线的垂线?首先,我们过紫色点任意作一条直线与绿色线相交,得到两个角∠A和∠B,其中∠A-∠B > 0,当直线以紫色点为中心旋转到右边的时候,必然有∠A-∠B < 0,从而必有某个位置使得∠A=∠B,而∠A+∠B=180°,即∠A=∠B=90°。这本质上是连续函数的介值定理——数学分析里边的内容!你没有看错,就是数学分析,就这么简单的问题也需要用到。如果真的要将几何严格化,必须要借助代数这一工具!
为什么可以作垂线.png

接下来,我们过紫色点,作一条直线(下面的蓝色线),垂直于上一步作出来的橙色线。
找出平行线.png

下面我们可以证明,蓝色线平行于绿色线。证明的思想很简单,整个图形是关于橙色线对称的,如果蓝色线和绿色线在某一边相交,那么必然也在另外一边相交,从而有两个交点——这与已知的公理“平面上两条不同的直线,最多只有一个交点”矛盾。因此,两者只能是平行。

现在我们就找出了一条平行线了,而根据第五公设,只有一条这样的线,所以这条线就是唯一一条了。

“内错角相等,两直线平行”

下面我们来证明“内错角相等,两直线平行”。个人认为,这个一点都不简单...

首先我们有两条平行线:蓝色线和绿色线,黄色线是跟平行线相交的直线,从而得到两个内错角C和D。紧接着,过C角处的交点,作粉红色的线垂直于蓝色线,然后可以证明粉红色线也垂直于绿色线。这步很显然,但也需要证明。如果粉红色线不垂直于绿色线,那么可以按前面的方法,坐出另外一条过同样的点而又与蓝色线平行的线来,从而过同一点有两条不同的直线与蓝色线平行,矛盾。顺便地,我们容易证明红色线平行于粉红色线。

内错角相等.png

现在我们得到了一个矩形——四个内角都是90°的图形。于是可以利用矩形的对称性来证明两个三角形全等,即三条边对应相等的两个三角形全等,从而内错角相等。而这个判定法则,源于三角形的稳定性——也是几何公理。

可是别忘了,我们还没有证明矩形的对边相等!!这里的矩形定义为四个内角都是90°的四边形,因此并没有包含对边相等这个条件,需要我们证明。当然,不困难,利用对称性,将矩形对折过来,根据我们平行线的作法(两次垂直),中点处的平行线,就是对称轴,因此对折过来后就重合了。(这里说的比较通俗,可以用数学的语言写出来~请读者自己试试,对称性是关键。)

一点点总结

为了说明平行这件事情,我们花了那么多篇幅,而且还不知道说清楚了没有。因此,涉及到这些基本问题,需要步步质问,步步为营,才不至于陷入逻辑上的矛盾。当然,有没有必要做这件事情,就见仁见智了。

有些地方可能我也没有论证清楚,也有可能出现逻辑矛盾,希望读者发现后不吝批评。


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