怎么会这么巧！背后的隐藏信息

假设我是一名中学数学老师，在给学生兴致勃勃地讲“素数”，讲完素数的定义和相关性质后，正当我接着往下讲时，有个捣蛋的学生提问，“老师，你能不能举一个三位数的素数？”。可是我手头上没有1000以内的素数表，我也没记住超过100的素数，那怎么办呢？我只好在黑板上写出几个三位数，比如173、211、463，然后跟学生说“让我们来检验这些数是不是素数”。最终的结果是：它们都是素数！然后会有学生疑问：怎么会这么巧？

素数的概率 #

首先的问题是，任意写一个三位数，它是素数的概率是多少？三位数的素数共有143个，三位数共有900个，于是概率应该是143/900，大约是六分之一。看起来挺低的，要“蒙中”似乎不容易。然而，在上述情形，我倾向于写出素数，因此我肯定不会写偶数，也不会写5的倍数，3的倍数也是很容易排除的，只要把各个数字加起来看看能不能被3整除就行了，排除了2、3、5的倍数之后，剩下的数字大约只有
$$900\times\left(1-\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{3}\right)\times\left(1-\frac{1}{5}\right)= 240$$
也就是说，我自己随手写一个三位数，希望它是素数（但是不肯定），那么我写的可选数字只有240个，而不是900个，这时概率为
$$\frac{143}{240}\approx 0.6$$
其实还不止，11的倍数也可以可以相当容易地排除的，因此240还要乘以10/11，并且三位数除以一位数的心算并不复杂，因此，我也会把7的倍数排除掉，所以，事实上备选数字只有
$$240\times\left(1-\frac{1}{7}\right)\times\left(1-\frac{1}{11}\right)\approx 187$$
所以，我猜中素数的概率为
$$\frac{143}{187}\approx 0.76$$
概率约为3/4，所以，我能写出素数的概率是很高的。而且还有一个隐藏的技巧是，我会写一些比较小的备选数字，这样它是素数的概率就更高一些了。

为什么会那么巧 #

上面的一个简单的虚拟小故事告诉我们，在算概率的时候，要充分把隐藏的条件给发掘出来，如果一些“小概率事件”经常发生，那么必然存在某些因素，使得概率改变了，或者这个事件本身就不是小概率事件，只不过认为将它包装为小概率事件而已。当然，包装还有另外一个倾向，就是将小概率事件包装为大概率事件，通常来说，护肤品、保健品广告就有这个倾向。这两种情况是雷同的。

生活中还有很多巧的事情，比如他和她在一起了，两个人感觉跟彼此特别有缘，因为很多事情都太巧了。比如说他约她看电影，两个人居然同时到达电影院了，这巧不巧？是的，这概率挺低的，看来确实挺巧的。然而，我们觉得很多事情太巧了，往往源于我们对巧的定义太广泛了。两个人同时到达电影院，是一件巧事，但是同时总会有个范围，误差十秒可能也算是同时，而且两个人可能事先约好了不要早到也不要迟到，所以一起到了就不算特别低的概率了。

最最关键是，如果不是同时，而是女生刚好迟到了一分钟，可能他们也会觉得挺巧了：刚好是60秒，不是61秒，不是59秒！所以，很多“巧”的发生，事实上源于我们对“巧”的定义太泛了。对于一个数学迷来说，可能迟到59秒或者61秒对他来说也是巧的（素数）。所以，我们脑海中“巧”的定义那么广泛，我们经常遇到巧事，也就不奇怪了。

生活不是缺少巧，而是缺少发现巧的眼睛。

当然，如此分析通常会让人感觉太理性了，理性到没有必要了。比如对于热恋中的两个人来说，他们通常更愿意把这些当作真正的巧合，因为在他们心中这就是“缘分”的体现。所以，这时候最佳的做法，还是不要尝试解释诸多的巧合，就让巧合来得更猛烈些吧。

最后，引用费曼的一个故事，它来自《别闹了费曼先生》，里边讲了费曼是如何企图给一个“超自然现象”寻求合理的解释的：

在我抵达医院数小时后，阿琳去世了。护士进病房来填写死亡证明书，然后离开。我陪着阿琳又过了一会儿，无意中看到我送给她的闹钟。那是七年前的事情了，当时她才刚感染上肺病，在那些日子里，这种数字钟算是很精巧的东西，它利用机械原理，能够显示数字。由于它结构极为精巧，因此很容易故障，隔不多久我便须动手修理一下；但多年来我还是没把它丢掉。这次它又停摆了——停在九点二十二分上，刚巧是死亡证明书上记下的时间！

阿琳生病期间，一直把那只钟放在床边，它却刚好在她去世的那一刻停顿。我明白，那些对这类事情疑信参半的人，在这种情况之下，不会立刻去研究事情的真相；他们会认定没人碰过那时钟，事情无法解释；而钟确实停了，确实可以算是一件惊人的超自然案例。

不过我注意到房间的灯光很暗，我甚至记得护士曾经拿起钟来，迎着光以看清楚一点，那很容易就把它弄停了。

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