泊松分布,适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布,如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数、汽车站台的候客人数等。[维基百科]泊松分布也可以作为小概率的二项分布的近似,其推导过程在一般的概率论教材都会讲到。可是一般教材上给出的证明并不是那么让人赏心悦目,如《概率论与数理统计教程》(第二版,茆诗松等编)的第98页就给出的证明过程。那么,哪个证明过程才更让人点赞呢?我认为是利用母函数的证明。

二项分布的母函数为
\begin{equation}(q+px)^n,\quad q=1-p\end{equation}

当试验次数非常大而概率很小的时候,可以考虑它的近似,此时$\lambda=pn$是一个不算大的数字,$p=\frac{\lambda}{n}$很小,也是根据概率公式
\begin{equation}(q+px)^n=\left(1+\frac{\lambda}{n}(x-1)\right)^n\end{equation}
由于
\begin{equation}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\end{equation}
当$n$相当大但不是无穷大时,上式与$e^x$相差还是很小的,于是有近似
\begin{equation}\left(1+\frac{\lambda}{n}(x-1)\right)^n\approx e^{\lambda x-\lambda}\end{equation}
这就是泊松分布的母函数。

要注意,$e^{\lambda x-\lambda}|_{x=1}=1$,这是作为概率的母函数必须服从的条件,这是非常巧的。因为我们做了一个近似,近似之前的函数,确实是一个概率的母函数,但是近似之后的函数,还恰好是另一个概率的母函数(而不用作修正),不得不说这是一个非常漂亮的巧合。

直接将其展开为级数,就得到各项的概率
\begin{equation}e^{\lambda x-\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k !}x^k\end{equation}
也就是说
\begin{equation}P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k !}\end{equation}
于是我们得到了泊松分布的概率公式。

下面给出一张刚找到的各种概率的联系图,与读者分享。
各种概率分布的联系.png
原图来自:http://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf


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