今天上近世代数课,老师谈到除环,举了一个非交换的除环的粒子,也就是四元数环,然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”,也就是实数本身、复数、四元数和八元数(这里的可除代数就是除环)。这句话我听起来有点熟悉,又好像不大对劲。我记得在某本书上看过,定义为实数上的超复数系,如果满足模的积性,那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性,也只有四种。我自然以为老师记错了,跟老师辩论了一翻,然后回到宿舍又找资料,最终确定:实数域上有限维可除代数真的只有四种!下面简单谈谈我对这个问题的认识。

当然,这里不可能给出这个命题的证明,因为这个证明相当不简单,笔者目前也没有弄懂,但是粗略感觉一下为什么,还是有可能的。看到这个命题,我们一下子的感觉可能是:怎么会这么少!我们这里通过例子简单说明一下,确实不会多!

我们已经对复数系很熟悉了,也就是定义在实数上的向量空间,基为$\{1,i\}$,并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$
然后就可以定义除法了。我们最终会发现,除了0,这个向量空间中的所有元素都有一个唯一的逆,这是除环的必要条件!另外一个很类似复数系的向量空间是,基为$\{1,j\}$,但是定义$j^2=1$,但是这个却不是除环!

在哪里出错了?我们考虑$a+bj$的逆,其中$a,b$都不等于0,那么
$$\frac{1}{a+bj}=\frac{a-bj}{(a+bj)(a-bj)}=\frac{a-bj}{a^2-b^2}$$
看到分母了吧?如果是复数,这个分母是$a^2+b^2$,对于不全为0的$a,b$,它都非0;但是这里的分母是$a^2-b^2$,即使$a,b$全不为0,那么它还是有可能为0的,那时就定义不了逆了。换句话说,这个环中的某些非零元素不存在逆,这就导致了它不是除环。

再来看看$a^2+b^2$和$a^2-b^2$的区别,可以看出,前者是正定的,后者则不是,齐次正定的能够保证全不为0就不导致结果0,这似乎就是两者的核心区别所在。如果真的是这样的话,那么我们就得找出$a^2+b^2$和$a^2-b^2$的意义来。我们换一个角度来看求逆,假设$a+bj$的逆是$c+dj$,那么
$$1=(a+bj)(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j$$
也就是$ac+bd=1,bc+ad=0$,写成矩阵形式也就是
$$\left( {\begin{array}{c}
a&b\\
b&a
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{c}
c\\d
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c}
1\\0
\end{array}} \right)$$
也就是求逆就等价于求上述线性方程组,然而前提是
$$\det\left( {\begin{array}{c}
a&b\\
b&a
\end{array}} \right)=a^2-b^2\neq 0$$
现在我们找出了$a^2-b^2$的含义了,它就是在求逆的时候,系数矩阵的行列式!

要注意,上述只是一些探讨和猜测,并不是证明,也不是推导。我们看到,这里出现了一个矩阵,矩阵的行列式如果是正定的话(当然,负定也有同样的作用),那么这个环就可以顺利地成为除环。这个矩阵跟基的乘法表有关。一般地,这个矩阵的每一行,忽略正负号的区别外,都是第一行那些数的一个重排。(最一般的情况,应该是线性组合)

现在我们来分析行列式什么时候可能是正定的,比如三阶行列式(这对应于三维除环的存在性)
$$\det\left( {\begin{array}{c}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\end{array}}\right)=a e i-a f h-b d i+b f g+c d h-c e g$$
怎么才能让它成为正定?很自然的想法是让那些负号的项反号(有三项),也就是改变那些项中的某些数的正负号,这样就至少涉及到三个数,但是一旦改变这三个数的正负号,必然也会影响另外三项,导致原来是正号那三项反而变为负号了,这个是不可调和的矛盾,因此,实数上的三维的除环不可能存在的。要注意,哈尔密顿奋斗了十年,才认识到了这一点...

然而,在四阶行列式中,这个是有可能存在的,不然四元数也就不存在了,而奇数阶的行列式,都是出现三阶行列式的类似的矛盾,甚至,阶数中还有奇数因子,也会出现类似的矛盾,由此,实数上的有限维可除代数,只可能是$2^n$维的。

本文如果放在1860年以前,或许可以给研究代数的朋友一点指示,当然,1860年已经远远离我们而去,而:

1861年,魏尔斯特拉斯证明,有限维的实数域或复数域上的可除代数,如满足乘法交换律,则只有实数及复数的代数(1884年发表)。

1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)。

1878年弗洛宾尼乌斯(F。G。Frobenius,1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数。

1881年小皮尔斯也独立得到证明。1958年用代数拓扑学方法证明,实数域上有限维可除代数,连非结合可除代数也算在内,只有1,2,4,8这四种已知维数。可见实数域及复数域具有独特的性质。

参考内容
http://zh.wikipedia.org/zh/赋范可除代数
http://baike.baidu.com/view/10903855.htm


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