在小学的时候,数学老师就教我们除法运算:

被除数 ÷ 除数 = 商 + 余数

其中,余数要小于除数。不过,我们也许未曾想到过,这一运算的成立,几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术(数论)运算性质成立的基础!在代数中,上面的运算等式称为带余除法(division algorithm)。如果在一个整环中成立带余除法,那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质,比如唯一分解性,也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环,被称为唯一分解整环(Unique factorization domain)。

欧几里得整环

Euklid-von-Alexandria_1.jpg唯一分解定理说的是在一个整环之中,所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积,并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下,分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理,比如$60=2^2\times 3\times 5$,这种分解是唯一的,这看起来相当显然,但实际上唯一分解定理相当不显然。首先,并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的,我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$,要注意,在$2\mathbb{Z}$中,2、6、10、30都是素数,因为它们无法分解成两个偶数的乘积了,但是$60=6\times 10=2\times 30$,存在两种不同的分解,因此在这样的数环中,唯一分解定理就不成立了。

在所有成立唯一分解定理的整环中,有一类整环显得比较简单,我们称之为“欧几里得整环”(Euclidean domain)。这是能够进行带余除法的整环。然而,在进一步的讨论之前,我们还必须定义好带余除法,因为我们说过,实整数基于良序原理,我们可以规定余数比除数要小,但是一般的整环没有可比性。下面的定义基于高斯整数环,但是可以一般地推广到其他整环。(如果是在一般的整环中,范数要加绝对值,因为范数不一定是正数。)

带余除法

带余除法:任意给定复整数$\alpha,\beta$,且$\beta\neq 0$,那么存在复整数$\kappa,\lambda$,使得
$$\alpha=\kappa\beta+\lambda$$
其中$N(\lambda) < N(\beta)$。

下面给出的证明也具有一般性,考虑复数$\frac{\alpha}{\beta}=A+B i,\ A,B\in \mathbb{Q}$,将$A,B$都进行四舍五入,也就是取整数$C,D$,使得$|A-C| \leq 1/2,\ |B-D| \leq 1/2$,那么就可以取$\kappa=C+Di$,这样子
$$\begin{aligned}\lambda=&\alpha-\kappa\beta\\
=&\beta\left(\frac{\alpha}{\beta}-\kappa\right)\\
=&\beta\left[(A-C)+(B-D)i\right]\end{aligned}$$
那么
$$\begin{aligned}
N(\lambda)=&N\left(\beta\left[(A-C)+(B-D)i\right]\right)\\
=&N(\beta)N\left((A-C)+(B-D)i\right)\\
=&N(\beta)\left[(A-C)^2+(B-D)^2\right]\\
\leq &N(\beta)\left[(1/2)^2+(1/2)^2\right]\\
< &N(\beta)
\end{aligned}$$
由此可见,一个等价的定义是,对于任意复数$\alpha$,存在复整数$\beta$,使得$N(\alpha-\beta) < 1$。

裴蜀等式

有了带余除法,我们就可以用辗转相除法来求两个数的最大公约数了,辗转相除法也叫欧几里得算法,也正是这个原因,成立带余除法的整环才被成为欧几里得整环。我们将辗转相除的过程倒过来,逐步代入,就得到了裴蜀等式(Bézout's identity,也叫贝祖等式、贝祖定理)。

$\alpha,\beta$是两个不为0的高斯整数,那么存在$d$是它们的最大公约数,那么存在高斯整数$\xi,\eta$,使得
$$\alpha \xi +\beta \eta=d$$
也就是说两个数的最大公约数是这两个数的线性组合。

欧几里得引理

欧几里得引理(Euclid's lemma,也被称为欧几里得第一定理),是说如果某个高斯素数$\pi$整除两个高斯整数之积$\alpha\beta$,那么该高斯素数至少整除其中一个乘数,也就是$\pi|\alpha$和$\pi|\beta$至少有一个成立。

我们只需假设$\pi\nmid \alpha$,然后证明$\pi |\beta$。由于$\pi\nmid \alpha$,而且$\pi$又是一个素数,那么$\pi$和$\alpha$的最大公约数便是1(当然,也可以说是$-1,\pm i$,就是一个单位数),那么存在高斯整数$\xi$和$\eta$,使得
$$\xi \pi+\eta\alpha=1$$
两边乘以$\beta$
$$\xi \pi \beta+\eta\alpha\beta=\beta$$
由于$\pi|\alpha\beta$,也就是左边能被$\pi$整除,那么右边也可以,所以$\pi|\beta$。

到这里,我们要证明唯一分解定理的材料已经准备完毕。可以发现,上面的三个内容,都是自然数的一些比较显然的性质的一般化,而重要的唯一分解定理,就隐藏在这些简单的基本事实之中。

唯一分解定理

首先,要留意的是,唯一分解定理是忽略掉单位数因子的区别的,也就是说,把互为相伴数的两个数看成是同一数,唯一分解定理才成立。要不然,$9=3\times 3=(-3) \times (-3)$就有两种分解了。但是,-3和3只相差一个单位数,因此忽略此差别,就只有一种分解了。

证明采用的是数学归纳法,首先$N(\pm 1\pm i)=2$,这是范数最小的4个高斯整数,它们也都是高斯素数。也就是说,唯一分解对于$\pm 1\pm i$成立。

假设唯一分解定理对于范数小于$N(\alpha)$的整数都成立,那么对于高斯整数$\alpha$,假设它可以分解为高斯素数之积$\alpha=\pi_1 \pi_2 \dots \pi_s$和$\alpha=\pi'_1 \pi'_2 \dots \pi'_t$。那么就是说$\pi_s|\pi'_1 \pi'_2 \dots \pi'_t$,根据欧几里得引理,$\pi_s$必然整除$\pi'_1,\pi'_2,\dots,\pi'_t$中的其中一个,而且$\pi'_1,\pi'_2,\dots,\pi'_t$都是高斯素数,那么$\pi_s$必然与其中之一相伴,不失一般性,设$\pi_s$与$\pi'_t$相伴,那么$\pi_1 \pi_2 \dots \pi_{s-1}$和$\pi'_1 \pi'_2 \dots \pi'_{t-1}$相伴,而且$N(\pi_1 \pi_2 \dots \pi_{s-1}) < N(\alpha)$,因此对于此数唯一分解成立,所以唯一分解定理对于范数等于$N(\alpha)$的整数也成立。

所以唯一分解定理在高斯整数中成立。

回顾

回顾我们的证明,可以发现证明的基础便是带余除法。然而,带余除法的成立只不过是唯一分解定理的充分条件,也就是说,存在着非欧几里得整环,它也满足唯一分解定理,而这些就需要更多的知识了。而当遇到唯一分解定理不成立之时,我们也有绕过这一困难的方法,那就是引入理想数,这就是Kummer为了解决费马大定理所引入的思想,这些我们以后有机会就会谈到。接下来,让我们先牛刀小试,用高斯整数来证明费马大定理在$n=4$时成立。

参考书籍:

《数论讲义(下)》孙琦, 柯召

的第九章


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