学过线性代数的朋友都知道,方阵和非方阵的一个明显不同是,对于方阵我们可以计算它的行列式,如果不是方阵的话,就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中,为什么非方阵却没有行列式?也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵,其实也可以类似地定义它的行列式,定义出来的东西,跟方阵的行列式具有同样的性质,比如某行乘上一个常数,行列式值也就乘以一个常数,等等;而且还可以把其几何意义保留下来。但是,非方阵的行列式是不够美的,因为对于一个一般的整数元素的方阵,我们的行列式是一个整数;而对于一个一般的整数元素的非方阵,却导致了一个无理数的行列式值。另外,一个也比较重要的原因是,单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由,非方阵的行列式就被舍弃不用了。

非方阵的行列式不够漂亮

$n$阶方阵的行列式是每个向量的线性函数,它代表着向量之间的线性相关性;从几何上来讲,它就是向量组成的平行n维体的(有向)体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质,因为只有这样,方阵行列式的那些运算性质才得以保留,比如上面说的,行列式的一行乘上一个常数,行列式值也乘上一个常数。我们考虑$m\times n$的矩阵,其中$ m < n $,我们将它看成是$m$个$n$维向量的组合。最简单的,我们先考虑$1\times 2$矩阵的行列式,也就是二维向量$(a,b)$的行列式。

我们已经知道,$2\times 2$矩阵的行列式的绝对值,就是这两个向量所围成的平行四边形的面积。类似地,二维向量$(a,b)$的行列式的绝对值,就等于该向量自身的长度了,也就是$\det (a,b)=\sqrt{a^2+b^2}$,对于有理的$a,b$,大多数情况都会出现无理的行列式值,这是不协调的。因为它是线性的函数,有理数的线性运算导致无理数,却是不大舒服的。

类似的,可以考虑$2\times 3$矩阵
$$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{*{20}{c}}
a&b&c\\
d&e&f
\end{array}\right)$$
的行列式。按照几何意义,它的行列式的模就是这两个向量所围成的平行四边形的面积。我们可以利用叉积来计算这个面积,但为了更一般化,我们利用正交化的方法来计算它。

以向量$\boldsymbol{x}_1=(a,b,c)$为出发点,选取
$$\boldsymbol{e}_1=\frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
那么$\boldsymbol{x}_1=\left|\boldsymbol{x}_1\right|\boldsymbol{e}_1$。对$\boldsymbol{x}_2=(d,e,f)$正交化,得到
$$\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1$$

$$\boldsymbol{e}_2=\frac{\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1}{\left|\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1\right|}$$
得到
$$\boldsymbol{x}_2=\left|\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1\right|\boldsymbol{e}_2+\left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1$$
因此,行列式的模,也就是两个向量所形成的平行四边形的面积等于
$$\left|\det\boldsymbol{A}\right|=\left|\boldsymbol{x}_1\right|\cdot \left|\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1\right|$$

最后的表达式出现了两个模,表明两个根号,随便挑个具体例子就可以验证,即使$\boldsymbol{A}$的元素全部是整数,也得不到有理数。这体现了非方阵行列式的不美之处。

方阵的行列式就够了

由于非方阵的行列式不够美,那么我们干脆弃之不用了。可是,这样会不会产生什么“副作用”?也就是说,会不会有哪些地方,非用到非方阵的行列式不可?事实上,至少就我目前的认识来说,答案是没有。

比如说判断$m$个$n$维行向量的线性相关性,我们是这样做的:第一种方法,利用初等变换,看变换后的矩阵的秩是否为$m$;如果嫌第一种方法步骤太多,第二种方法相对来说干脆一点,就是检验删除任意$n-m$列后,剩下的方阵行列式是否为0,如果存在一个不为0,就说明线性无关了。所以说,方阵的行列式够用了。

如果要求面积、体积怎么办?事实上,用的就是类似$\left|\boldsymbol{x}_1\right|\cdot \left|\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2} \right\rangle\boldsymbol{e}_1\right|$的公式,这公式不难理解,也不难记忆。由于它带有不可化简的根号,因此,也就没有简单的计算公式了。

最后,一个比较核心的限制了非方阵行列式使用的原因是,非方阵的行列式应用不多。方阵的行列式可以用来求各种因子,比如重积分的坐标变换中的雅可比行列式,等等,这些由于方阵的可逆性,这些行列式都是有直接的应用意义的。相比之下,非方阵没有可逆的说法,所以非方阵的行列式应用也就很窄了。


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