我们在上一篇文章中已经看到,随机游走的概率分布是正态的,而在概率论中可以了解到正态分布(几乎)是最重要的一种分布了。随机游走模型和正态分布的应用都很广,我们或许可以思考一个问题,究竟是随机游走造就了正态分布,还是正态分布造就了随机游走?换句话说,哪个更本质些?个人就自己目前所阅读到的内容来看,随机游走更本质些,随机游走正好对应着普遍存在的随机不确定性(比如每次测量的误差),它的分布正好就是正态分布,所以正态分布才应用得如此广泛——因为随机不确定性无处不在。

下面我们来考虑随机游走的另外一种描述方式,原则上来说,它更广泛,更深刻,其大名曰“路径积分”。

路径积分简介

谈到路径积分,就不能不谈到费曼了。路径积分的首创者就是我所推崇的天才物理学家费曼了。当时,路径积分是作为量子力学的第三种等价描述方式出现的。相对于海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学,费曼的路径积分在数学上是最繁琐的,但是它的思想却是最容易理解的,而且具有普遍性,以至于成为了现在的量子场论的主流形式。这进一步说明,数学上的繁琐不是问题的难度所在,如果思想简明了、逻辑清晰了,再繁琐的计算,也是很简单的。用物理学家的话说,那就是没有数学细节,我们还能干很多事情,但是没有物理思想,我们就什么也干不了。

路径积分的思想真的很简单,我们平时考虑的是概率密度,即一件事情发生在某个小区域内的概率。路径积分考虑的是事情沿着某条路径发生的概率(在量子力学中就是概率幅),然后采取某种积分测度,把所有路径的概率都加起来,得到总概率。

路径积分的思想就是这么简单,但是要在数学上清晰地处理它,还需要做很多工作,以后科学空间还会有专题介绍它。在此之前,费曼的《量子力学与路径积分》是一本非常好的参考书(似乎没有之一)。

随机游走的路径积分

根据上文的结果,我们知道在随机游走中,从$x_0$出发,$t$时间后,走到$x_n$处的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha t}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right)$$

我们把时间等分为$n$分,每份长度为$\Delta t=\frac{t}{n}$,在$i\Delta t$时刻,粒子的位置位于$x_i$。粒子从$x_i$到达$x_{i+1}$的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha \Delta t}}\exp\left(-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2\alpha \Delta t}\right)$$
所以粒子依次经过$x_1,x_2,\dots,x_{n-1},x_n$的概率密度为
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha \Delta t}}\right)^n\exp\left(-\frac{(x_1-x_0)^2+(x_2-x_1)^2+\dots+(x_n-x_{n-1})^2}{2\alpha \Delta t}\right)$$
省略前面的因子,然后取$\Delta t\to 0$的极限,得到粒子沿着路径$x=x(t)$走过的概率正比于
$$\exp\left(-\int\frac{\dot{x}^2}{2\alpha}dt\right)$$
这就得到了某条路径的概率。利用量子力学的路径积分方法,可以以此出发,反过来求得概率密度
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha t}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right)=\int \exp\left(-\int\frac{\dot{x}^2}{2\alpha}dt\right)\mathcal{D}x(t)$$
这就是随机游走的路径积分思想。至于具体的数学细节,我们以后再谈。


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