这是一道流传很广的趣题,也许不少读者已经听说过它,然而广为人知却不一定“广为人‘解’”,在此把题目给出来,写下我自己的答案,并且谈谈我对答案的看法。题目是这样子的:

与橡皮绳赛跑的蚂蚁
一只蚂蚁沿着一条长$l=100$米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长了1000米。假设橡皮绳可以任意拉长,并且拉伸是均匀的。蚂蚁也会不知疲倦的一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然的相对匀速向前挪动,问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

解答过程
如果已经有了基本的微积分基础,我觉得这道题并不难。能否在高中数学范围内解决它?我觉得不能,因为虽然可以把下面的过程离散化,得到一个近似的答案,但是为了估计时间,需要计算级数
$$S(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$$
的近似值。这同样需要用到微积分的理论。

假设蚂蚁在$t$时刻位于$x$处,它此时的速度是$\dot{x}$,它的速度是本身的爬行速度($v_0 =1 cm/s$)加上绳子的拉长速度,绳子的拉长总速度是$v_1=100 m/s$,此时绳子长为$l+v_1 t$,在$x$处的拉长速度是$v_2=\frac{v_1 x}{l+v_1 t}$(按比例分配),所以我们有
$$\dot{x}=\frac{v_1 x}{l+v_1 t}+v_0$$
设$v_1 x=y,l+v_1 t=\tau$,上方程变为
$$\frac{dy}{d\tau}=\frac{y}{\tau}+v_0$$
再设$\frac{y}{\tau}=u,\ln \tau =v$,代入得
$$\frac{du}{dv}=v_0$$
所以
$$u=v_0 v-v_0 \ln l;\frac{y}{\tau}=v_0 \ln \tau-v_0 \ln l$$
最终即
$$\ln\left(1+\frac{v_1 t}{l}\right)=\frac{v_1 x}{v_0 (l+v_1 t)}$$
为了爬过橡皮绳,至少$x=l+v_1 t$,那么
$$\ln\left(1+\frac{v_1 t}{l}\right)=\frac{v_1}{v_0}$$
对于本文的题目,也就是
$$\ln\left(1+t\right)=10000$$
解得$t\approx 10^{4343} s$,这是$10^{4335}$年!

我的答案
答案显示,在有限的时间里,蚂蚁可以爬过去。但是,所需要的时间是$10^{4335}$年!这不仅仅超过了蚂蚁的寿命,而且超过了目前我们所知道的宇宙的年龄!从这个角度来讲,或者说,从物理的角度来讲,这是不可能实现的,也就是说,物理学家给出的答案应该是无法爬过去!

物理是实验和理论结合的学科,实验就免不了误差。在实验的精度内,误差小于某个数值,就被认为是相等,大于某个数值,就被认为是无穷大,等等。比如,给出一个边长为1.0的正方形,它的对角线长度是1.4,而不是$\sqrt{2}$;对于本文的答案,$10^{4335}$年,在(目前的)物理学家看来,它就是无穷大时间了,所以就是不可实现的。


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