在学车的时候,我堂大哥曾问我一道作圆的问题:

三圆的外切圆和内切圆 (1).png
平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心,求作一个圆与这三个圆都相切(尺规作图)。

如果从纯几何的途径入手,我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目,于是很快想到一个名词:反演。反演可以将圆反演成直线(圆过反演点),也可以将圆反演成圆(圆不过反演点),而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演,就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多,利用反演,我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。

假设读者已经有了反演的基本知识,如果没有,请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演
阅读相关内容。

下面是作图步骤:

(1) 选择一个相切点,以相切点为圆心作一个圆(半径随意);

三圆的外切圆和内切圆 (2).png

(2) 以(1)作的圆为基础圆,作给出的三个圆的反演像。其中两个圆变为两条平行直线,第三个圆依旧反演为圆,并与两直线相切。

三圆的外切圆和内切圆 (3).png

三圆的外切圆和内切圆 (4).png

(3)接下来的步骤就很容易了,显然我们可以作出两个圆,与反演像中的圆和两条直线都相切。作出这两个圆后,继续以(1)的圆为基础圆,将这两个圆反演回去,就得到了所求的圆,分别对应着三个圆的外切圆和内切圆。

三圆的外切圆和内切圆 (5).png

三圆的外切圆和内切圆 (6).png


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