这也是我的期末论文之一...全文共17页,包括了四元数的构造方法,初等应用等。附录包括行列式与体积、三维旋转的描述等。使用LaTex进行写作(LaTex会让你爱上数学写作的)

几何的数与数的几何
――超复数的浅探究

摘要
今天,不论是数学还是物理的高维问题,都采用向量分析为基本工具,数学物理中难觅四元数的影子。然而在历史上,四元数的发展有着重要的意义。四元数(Quaternion)运算实际上是向量分析的“鼻祖”,向量点积和叉积的概念也首先出现在四元数的运算中,四元数的诞生还标记着非交换代数的开端。即使是现在,四元数还是计算机描述三维空间旋转问题最简单的工具。另外,作为复数的推广,四元数还为某些复数问题的一般化提供了思路。

本文把矩阵与几何适当地结合起来,利用矩阵行列式$\det (AB) =(\det A)(\det B)$这一性质得出了四元数以及更高维的超复数的生成规律,并讨论了它的一些性质以及它在描述旋转方面的应用。部分证明细节和不完善的思想放到了附录之中。

目录

1 背景2
2 行列式3
3 四元数3
3.1 复数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 复数与矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 三元数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 四元数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 背景2
3.4.1 几何方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4.2 代数方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 一些性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.1 基本运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5.2 空间旋转. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5.3 非交换加法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 八元数11
5 结束语12
A 附录12
A.1 行列式与体积的等价性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.2 矩阵描述旋转. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A.3 改变模的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A.4 四元数微积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
参考文献17

《几何的数与数的几何:超复数的浅探究》.pdf


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