作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\mathbf{x}$是一个n维单位向量,即$|\mathbf{x}|=1$,而$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\mathbf{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\mathbf{I}$是n阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x},\bar{B}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。

然后我们再考虑
$$\begin{aligned} &\left(\Delta A\right)^2=\mathbf{x}^{T}\left( \mathbf{A}-\bar{A}\mathbf{I} \right)^2 \mathbf{x}\\
&\left(\Delta B\right)^2=\mathbf{x}^{T}\left( \mathbf{B}-\bar{B}\mathbf{I} \right)^2 \mathbf{x}
\end{aligned}$$

由于$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$是n阶实对称矩阵,那么自然有
$$\begin{aligned} &\left(\Delta A\right)^2=\left| \left( \mathbf{A}-\bar{A}\mathbf{I} \right)\mathbf{x}\right|^2\\
&\left(\Delta B\right)^2=\left| \left( \mathbf{B}-\bar{B}\mathbf{I} \right)\mathbf{x}\right|^2
\end{aligned}$$

利用施瓦兹-柯西不等式,我们有
$$\begin{aligned}
\left(\Delta A\right)^2\left(\Delta B\right)^2 &=\left| \left( \mathbf{A}-\bar{A}\mathbf{I} \right)\mathbf{x}\right|^2\left| \left( \mathbf{B}-\bar{B}\mathbf{I} \right)\mathbf{x}\right|^2\\
&\geq \left| \mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{A}-\bar{A}\mathbf{I} \right)\left( \mathbf{B}-\bar{B}\mathbf{I} \right) \mathbf{x} \right|^2\\
&=\left| \mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{A}\mathbf{B}\right)\mathbf{x}-\left(\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} \right)\left(\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}\right)\right|^2
\end{aligned}$$

同样可以证明
$$\begin{aligned}
\left(\Delta A\right)^2\left(\Delta B\right)^2 \geq \left|\left( \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}\right)\left(\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}\right)-\mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{B}\mathbf{A}\right)\mathbf{x} \right|^2
\end{aligned}$$

所以
$$\begin{aligned}
&\left(\Delta A\right)^2\left(\Delta B\right)^2 \\
\geq &\frac{1}{2}\left| \mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{A}\mathbf{B}\right)\mathbf{x}-\left(\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} \right)\left(\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}\right)\right|^2\\
&+\frac{1}{2}\left|\left( \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}\right)\left(\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x}\right)-\mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{B}\mathbf{A}\right)\mathbf{x} \right|^2\\
\geq &\frac{1}{4}\left| \mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{A}\mathbf{B}\right)\mathbf{x}-\mathbf{x}^{T} \left( \mathbf{B}\mathbf{A}\right)\mathbf{x} \right|^2\\
=&\frac{1}{4}\left| \mathbf{x}^{T} \left( [\mathbf{A},\mathbf{B}]\right)\mathbf{x}\right|^2
\end{aligned}$$

其中
$$[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A}$$
称为换位子、对易式等。以后我们会经常见到这个式子。这里的对易式定义与量子力学中的定义有一点不同。

最后我们就得出了关于两个实对称矩阵和一个单位向量的不等式了。
$$\begin{aligned}
\left(\Delta A\right)\left(\Delta B\right) \geq \frac{1}{4}\left| \mathbf{x}^{T} \left( [\mathbf{A},\mathbf{B}]\right)\mathbf{x}\right|
\end{aligned}$$

只要两个向量是不对易的,那么该不等式就告诉了我们一个“不确定性原理”。量子力学做的,是使用了推广到复数域以及无穷维的类似上式的不等式,并赋予其统计意义。


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