在文章《新理解矩阵3》:行列式的点滴中,笔者首次谈及到了行列式的几何意义,它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而,这篇文章写于我初学矩阵之时,有些论述并不严谨,甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候,研究了超复数的相关内容,而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用,因此把行列式的几何意义重新研究了一翻,修正了部分错误,故发此文,与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_n$的集合
$$A=(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n)$$
从代数的角度来看,这构成了一个矩阵;从几何的角度来看,这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如:平行四边形就是“平行二维体”,平行六面体就是“平行三维体”,高阶的只需要相应类比,不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

让我们考虑矩阵$A$的行列式$\det A$,我们知道$\det A$有如下性质:

行列式性质

1、行列式是$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n$的一个函数,即$\det A=f(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n)$;

2、(线性1)行列式的某一列乘上常数$\alpha$,则行列式的值也乘上$\alpha$,即$ f(\mathbf{x}_1,\dots,\alpha\mathbf{x}_i,\dots,\mathbf{x}_n)=\alpha f(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_i,\dots,\mathbf{x}_n)$;

3、(线性2)将行列式的某一列写成两列之和,那么行列式也相应地成为两个行列式之和,即$ f(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_i,\dots,\mathbf{x}_n)= f(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{y}_i,\dots,\mathbf{x}_n)+f(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{z}_i,\dots,\mathbf{x}_n)$,其中$\mathbf{x}_i=\mathbf{y}_i+\mathbf{z}_i$,性质二和三表明$f$是关于每个向量的线性函数;

4、(反对称)只要有两列相同,那么行列式值为0,即$f(\dots,\mathbf{x},\dots,\mathbf{x},\dots)=0$;

5、(归一)单位矩阵的行列式为1,即$f(I)=1$。

一个惊人的事实是,行列式可以由上面五条性质唯一确定!即由上面五条性质就可以唯一确定一个函数$f$,这个函数就是矩阵的行列式。

从几何的角度来看,用这$n$个向量,可以生成$n$维空间的一个平行$n$维体。让我们来考虑这个平行$n$维体的体积$V$。只在第一卦限讨论,那么体积具有下面的性质(只在第一卦限讨论,限保证了所有的向量和因子都是正数。)

体积性质

1、体积是这$n$个向量的一个函数$V(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_n)$;

2、将某个向量乘以$\alpha$,也就是把它的长度变为来说的$\alpha$倍,那么体积也增大$\alpha$倍,即$V(\mathbf{x}_1,\dots,\alpha\mathbf{x}_i,\dots,\mathbf{x}_n)=\alpha V(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_i,\dots,\mathbf{x}_n)$;

3、体积是可加的,即$V(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_i,\dots,\mathbf{x}_n)= V(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{y}_i,\dots,\mathbf{x}_n)+V(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{z}_i,\dots,\mathbf{x}_n)$,其中$\mathbf{x}_i=\mathbf{y}_i+\mathbf{z}_i$;这点需要稍加验证,但它的确是正确的。

4、只要有两个向量重合,那么体积自然为0,即$V(\dots,\mathbf{x},\dots,\mathbf{x},\dots)=0$;比如在三维空间中的一个立体,有两条边重合,那么说明这个立体已经压缩为一个面了,面的体积自然为0。

5、由单位矩阵$I$构成的平行$n$维体是一个$n$维的单位立方体,它的体积自然是1,即$V(I)=1$。

比较行列式和体积的性质,可以发现它们是完全相同的,所以在第一卦限中的平行$n$维体的体积就是对应矩阵的行列式!如果将其放到所有卦限中,那只不过是体积概念的推广(允许为负数)。因此,我们不妨这样定义:体积就是行列式

事实上,负体积的引入具有重要意义,它是现在的“外微分”的基础之一。外微分一个典型的用处是它可以把高斯积分公式、斯托克斯积分公式等统一起来。它使微分的理论和形式更完整统一。


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