这是我的这学期高等代数课的一个小论文。说到这里,其实我挺喜欢那些不用考试,通过平时考核以及写论文、报告或者做实验的方式来评成绩的方式,毕竟我觉得这才是比较综合地体现了知识和技能的水平(当然更重要的一个原因是我比较喜欢写作啦~~)。我们高等代数有两门课程,一是基本的上课,二是研讨课,分别考核。老师照顾我们,研讨课不用考试,写小论文就行了。Yeah~~

我写的是有关对称多项式的。其实这文章在半个学期之前就酝酿着了,当时刚学到对称多项式的初等表示。所谓初等表示,就是将一个多元对称多项式表示为$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,...$的组合。其中
$\sigma_1=x_1+x_2+...+x_n$
$\sigma_2=x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_1 x_n+x_2 x_3+...+x_{n-1} x_n$
...
$\sigma_n=x_1 x_2 ... x_n$
书本上给出了待定系数法,但是每次都要求解方程组,让我甚是烦恼,所以我研究直接展开的方案,最终得出了两种方法。当时也刚好接触着张量的知识,了解到“爱因斯坦求和约定”,于是想充分发挥其威力,就促成了这篇文章。其实我自定义了“方括弧”和“圆括弧”两种运算,都是符号上的简化。两种方法在某种意义上相互补充,笔者自感颇为满意,遂与大家分享。具体内容就不贴出来了,请大家下载pdf文件观看吧。

摘要
对称多项式基本定理告诉我们每一个对称多项式都可以表示成初等对称多项式的多项式。但这仅仅是理论上的,具体的变换技巧还有待发掘。 《高等代数》教程中给出了两种不同的方法,其中一种就是直接根据首项逐次求得,但这因为计算量太高而不被频繁使用。第二种方法是通过待定系数法来求,效率较高,速度也较快。但是,不难发现,它还有以下两个不足:
(1)它的“快”是相对而言的,对于计算机编程计算来说它的确很快,但手工计算来说还是很有限制的,毕竟它将问题转换为一个多元一次方程组,手工求解多元方程组还是不容易的。
(2)通过待定系数法的过程没有体现出对称多项式的特性,淹没了“对称性”在多项式中的规律和美感。

综上所述, 有必要在对称多项式初等表示方面做出新的探讨。本文就是企图进行这样的尝试,不失一般性,只考虑 n 元齐次对称多项式。通过研究,笔者得到了两种可以比较快速地给出对称多项式初等表示的方法,它们在某种意义上是相互补充,笔者将在下面介绍。

下载:齐次对称多项式初等表示的新尝试.pdf


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