在数学中,我们把极限
$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$

记为e,并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...,这是一个与π同等重要的数(甚至有些书认为它比π更重要)。和π一样,这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下

假设$e=p/q$是有理数,其中p,q是正整数。根据e的麦克劳林展开式,我们有:
$p/q=e=1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!}+\varphi^{q+1}/{(q+1)!}$——————(1)
$p/q-(1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!})=\varphi^{q+1}/{(q+1)!}$——————(2)

其中$\varphi \in(0,1)$

于是,我们将(2)两边同时乘上q!,在左边得到了一个整数,而右边=$\varphi^{q+1}/{(q+1)}$为非整数,于是两者并不相等。这与两者相等矛盾!于是假设并不成立,e是无理数。

这个通过麦克劳林展开式是一个相对简单的证明,当然前提是要懂得e的麦克劳林展开式。相对于维基百科上提供的证明来说,我觉得这个证明相对简洁、直观!


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