在本系列的第五篇文章中,BoJone导出了一些看似不合理的公式,而且并没有说明它的应用和来源。其实,这些都是我在研究以下积分的时候总结出来的:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos x}{a^2+x^2}dx$

这道积分该怎么算呢?我一下子也没有好的思路,虽然它已经给出了参数a,但是直接对a求导会使得被积函数变得更加复杂,并没有出现明显可积的情况,所以我决定先研究一个特例,即a=1的情况:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos x}{1+x^2}dx$

既然对原参数求导并没有起到化简的作用,那么就说明费曼积分法不能直接应用上述参数。我决定尝试着把参数改为:
$F(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos (ax)}{1+x^2}dx$
明显当a=0时积分值为$F(0)=\pi$,根据《费曼积分法(5)》的讨论,当$a\to \infty$时,有$F(\infty)=0$。

求导看看?
$F'(a)=-\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x sin (ax)}{1+x^2}dx$

还是没有明显可积的情况,可是由于三角函数求导的周期性,让我想起了《费曼积分法(3)》里边曾用微分方程的思想求积分的方法,于是我再求一次导数:
$F''(a)=-\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2 cos (ax)}{1+x^2}dx$
$=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos (ax)}{1+x^2}dx-\int_{-\infty}^{+\infty}cos (ax)dx=F(a)-\int_{-\infty}^{+\infty}cos (ax)dx$

真让我们惊喜!!一道二阶线性微分方程出来了,根据《费曼积分法(5)》的讨论,$\int_{-\infty}^{+\infty}cos (ax)dx=0$。那么就是说:
$F''(a)=F(a)$

那就再好办不过了,直接写出同通解$F(a)=C_1 e^a+C_2 e^{-a}$,并且根据$F(0)=\pi,F(\infty)=0$,直接推出:
$F(a)=\pi e^{-a}$

这时我们就可以得到:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos x}{a^2+x^2}dx$
$=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos (a\times \frac{x}{a})}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})$
$=\frac{1}{a}F(a)=\frac{\pi}{a}e^{-a}$

思考与疑惑

如果你是自己推导过这个过程的,我相信你也会和我一样为一件事情感到困惑,那就是根据$F'(a)=-\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x sin (ax)}{1+x^2}dx$会得到$F'(0)=0$,但是我们求出的解显然不符合这个规律,这是为什么呢?

一开始我百思不得其解,可是后来想想,a=0是一个比较特殊的情况,如果$a\neq 0$时会怎样呢?我尝试让a取一个很小的具体的数值(比如0.000001),发现由$F'(a)=-\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x sin (ax)}{1+x^2}dx$算出的结果跟$F(a)=\pi e^{-a}$算出的结果是一致的。那么最终的结论就是:积分$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x sin (ax)}{1+x^2}dx$在a=0处不连续!!其实也可以这样思考:a有一个趋于0的过程,但是x也有一个趋于无穷大的过程,更重要的是,即使$sin(ax)$趋于0,$x sin(ax)$也不一定趋于0。总的来说可以归结为一句话:

在这道积分中,先对a取极限再对x取极限,以及先对x取极限再对a取极限,结果是不同的!

这告诫我们多元变量函数取极限并不是任何时候都可以交换顺序的!

另一方面,其实在《费曼积分法(5)》中也算是提供了我们求
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos x}{a^2+x^2}dx$
的另外一个思路,那就是将其变成:
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{a^2+x^2}dx$
并引入参数使其变成:
$F(b)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-b(x^2+a^2)}\frac{e^{ix}}{a^2+x^2}dx$
对b求导即可。这也算是一种不复杂的思路,但是过程要用到《费曼积分法(3)》里边的结论。有兴趣的读者不妨尝试一下?


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