在《自然极值》系列文章中,我引用了

《数学方法论与解题研究》(张雄,李得虎编著)

中提到的“平衡态公理”,并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极(小)值时取到,简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展,比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的,但在有些时候,我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极(小)值时取到”。然而,这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发,考虑保守系统,每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

其中$L(x,\dot{x})$是拉格朗日函数,一般来说它等于$T-U$,即动能减去势能。由欧拉-拉格朗日方程,S的变分等于0将给出:
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}})=\frac{\partial L}{\partial x}$$

狭义的平衡态指的就是“不动点”,也就是说此时动能为0了。而势能U一般只是位置的函数,和速度无关,因此平衡时将给出:
$$\frac{\partial U}{\partial x}=0$$

这说明平衡态将是势能取极值的情况。

然而,广义的平衡态不一定是纯粹的不动点,它有可能只是某一自由度的速度为0而已。比如说,在一个匀速绕圆心旋转的圆盘上也存在着自己的不动点,指的是它相对于圆盘没有运动而已。但是从我们看来,它具有一定的动能$\frac{1}{2} m\omega^2 r$,要是我们这时用总能量取极值来处理的话就会出现错误了。正确的做法应该是“动能-势能”取极值。数学语言来讲,就是作用量变成了:
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,0)dt$$

给出:
$$\frac{\partial L(x,0)}{\partial x}=0$$

所以平衡状态还是$L(x,0)$取极值,即动能-势能,而不是总能量。在之前的《旋转弹簧伸长问题的变分解法》中,我阴差阳错地犯了两个错误,先给势能多加了一个符号,又用了错误的公式。想不到“负负得正”,得出了正确的答案。现在已经在原文做了修正,望读者包涵。

另外,我继而思考了理论力学的一点问题:在拉格朗日函数中$L=T-U$,T和U都是能量,只不过是形式不同而已,可是为什么它们的地位不平等呢?它们必须一个取原值,一个却要取相反数。可是动能和势能真的如此不平等吗?不是,在转换参考系的情况下,它们可以相互转换呀。还是考虑刚刚那个圆盘问题。我们说平衡点还是具有动能$\frac{1}{2} m\omega^2 r$,可是在圆盘上的人测量,确实测量不到任何动能,他们只能够测量到势能$-\frac{1}{2} m\omega^2 r$,就是我们所说的离心势能。这样的话就没有必要引入“动能-势能”了,一切都可以看作是势能问题。

这又让我联想到,是不是干脆就可以将$L-T-U$,改成$L=-(-T+U)$呢?其中$-T$是一项特殊的势能,反映系统的非惯性运动。这样的物理学又是怎样的呢?


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