也许当我们从小学数学进入中学数学的过程中,让我们最郁闷的事情就是课本上把用的好好的角度制改为弧度制了,那个好好的360°的周角无端端变成了一个无理数$2\pi$,为此还多了一堆转换公式,那时这可把我折腾了好一阵子。为什么一个完美的360°不用,反而转向一个无理数$2\pi$?这里边涉及到了相当多的原因,在这些原因中,重新体现了数学体系的一致与简约。当然,文章里的观点只是我自己的看法,仅供大家参考。

弧度制:简约的要求

如果读者已经学过了极限理论,那么我就可以直接说,引入弧度制,是为了在这样的一种角的度量体制下,满足:
$$\lim_{x\to 0} \frac{sin x}{x}=1$$

不难证明,只有弧度制才满足这一极限。假如使用角度为单位的话,我们就有
$$\lim_{x\to 0} \frac{sin x}{x}=\frac{180}{\pi}$$

这样就显得不简洁了。满足这个极限有什么好处呢?那是为了更进一步的简洁:只有满足这个条件,我们才有:
$$(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x$$
这样的简洁式子。也只有当有了这样的简洁公式后,正(余)弦函数才能有更简单的表达形式:
$$sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...$$

也只有在这样的条件之下,才会有伟大的欧拉公式:
$$e^{i\theta}=cos\theta + i sin\theta$$
然后才会有复分析各种伟大的数学成果。

如果使用角度单位,那么
$$(sin x)'=\frac{\pi}{180}cos x, (cos x)'=-\frac{\pi}{180}sin x$$
会把我们纠结死的。所以最终我们选择了弧度制。

弧度制:统一的描述

事实上,使用弧度制,还有另外一个原因:出于我们对角的测量的反思和推广。

我们一般说的角,都是指平面角。其实角就是两条同源射线的张开程度,我们怎么测量这个张开程度的呢?我们先把一个周角分为360份,每一份叫做一度,然后再分细,然后用这个“量角器”来测量它。在小学我们也许就学过1°=60',1'=60''这样的变换规律。这样很容易让我们认为“度”是一个实在的单位,用物理的语言说,就是角度具有量纲。但事实上,角度是没有量纲的,它不像长度、时间那样具有实在的单位。我们所说的度、分、秒是人为给定的,不能反映其物理实在。

其实,测量两条射线的张开程度,不一定需要上面的“量角器”来度量,只需要计算长度之比就行。比如说,在一条射线上任取一点,往另外一条射线作高,构成一个直角三角形,高与斜边之比,也就是$sin\theta$的值,就代表了这个张开程度的大小。但这种测量方式中,$sin\theta$是不随$\theta$的匀速变化而匀速变化的(不成线性关系),这样用起来不便。后来,数学家巧妙地构思了一种角度的定义:

以角的交点为圆心,以单位长度为半径作一个单位圆,那么那个角所截的弧的长度就是角的大小。

这就是数学家测量角的方法!也许有的读者会问这样角不是具有长度的单位了?要注意这里是单位圆,这是描述的方便,它实际上是弧长与半径之比,既然是一个比值,自然就没有量纲了!我们中学的时候学过在弧度制下弧长$l=R\theta$,也许还要求我们证明。现在你该明白,这是弧度的定义!中学要求我们去证明实际上是本末倒置了(但是这也无可厚非)。就好比我问你“为什么第一名属于前三名?”一样,因为“不属于前三名就不可能是第一名!”。

这个角的定义很容易让我们将其推广到“立体角”的概念:

从一点引出三条或三条以上的射线,并且以这点为球心作单位球,这些射线在单位球上截出的球面多边形的面积,就是这个立体角的大小。

这样的推广是很显然的,也是很有用的。当然,在这里我们并不进一步展开论述它的作用。不过,我们已经可以发现,从角度到弧度,反映了数学家追求数学整体的和谐和简洁这一事实所在!

维基百科相关描述:
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