2、量子力学中的作用量量子化方法

在发现经典电动力学的这个新作用量之后,费曼便试图将它量子化,以期得到一个令人满意的量子电动力学。当时,量子物理学中还没有采用作用量方法。常规的途径是从哈密顿函数开始,用算符来取代经典哈密顿函数中的位置和动量,再应用非对易关系。费曼当时还不知道,狄拉克在1932年的一篇文章中已经将作用量和拉格朗日函数引进了量子力学[9]。正当他百思不得其解时,一位在普林斯頓访问的欧洲学者吿诉他,狄拉克在某某文章中讨论过这一间题。得知此信息后,费曼次日即去图书馆翻阅此文。

狄拉克在1932年的文章中引进了一个非常重要的函数$ < q_{t+dt}|q_t > $,并指出它“相当于” $exp[\frac{i}{\hbar}Ldt]$[9]。这“意味着”,狄拉克强调:“我们不应该把经典的拉格朗日函数看成是坐标和速度的函数,而应把它看作两个不同时刻t和r+dt的坐标的函数。"[9]在狄拉克思想的启发之下,费曼径直把“相当于”改写为“正比于”:

$$\Psi(x',t+\varepsilon)=\int K(x',t+\varepsilon;x,t)\Psi(x,t) dx=\int A exp[\frac{i\varepsilon}{\hbar} L(\frac{x'-x}{\varepsilon },x)]\Psi(x,t)dx$$

并就$L=\frac{1}{2} m\dot{x}^2-V(x)$就一特例从上式中导出了薛定谔方程。以此为基础,费曼1942年完成了他的博士论文“量子力学中的最小作用原理”。在这篇文章中,他导出了一个崭新的观念--满足叠加原理的几率幅的“空一时”描写,传统的波函数规在变成了从初态到末态的几率輻。基于这个思想,费曼对波包收缩假设提出了质疑。

1942年,太平洋战争爆发,费曼的理论探索因此受到耽搁。事实上,还在完成他的博士论文之前,费曼就已参加了曼哈顿计划。1943年春,他离开了普林斯顿,前去洛萨拉莫斯(Los Alamos),负责该计划的理论部计算组的工作。在洛萨拉莫斯,他那坦诚的人格、敏锐的眼光和出色的表现贏得了老一辈物理学家,如玻尔、贝特等人的高度赞赏;韦格纳把他誉为第二个狄拉克。1946年春,曼哈顿计划完成,费曼来到了康乃尔大学物理系,那时他的第一个妻子爱莲娜已长眠于新墨西哥州。但繁重的工作和生活的悲剧并没有窒息费曼对“游戏规则”[10]的探求。就在洛萨拉莫斯,他总是随身带者小纸片,常常在车上或街头神思冥想,试图将他发现的作用量量子化。这时,他遇到了两大难题,其一涉及自旋1/2的相对论性电子,其二是光子的问题,也就是作用量A的第二项。

关于电子,费曼的目标是在路径复几率幅的框架内建立一个更简单的相对论性电子理论,而不是沿用狄拉克方程。他相信,大自然的简单性惠予我们用不同的方式去看待同一亊物。因此他梦想着,狄拉克四分量旋量、狄拉克矩阵、粒子成对创生与湮灭、负能海等等,都能从他的新理论中推导出来。就一维情況,费曼发现很有希望。假设一个电子以光速来回运动,并把时间分成长度为$\varepsilon $的间隔,电子仅在每个小区间的端点改变速度方向,那么一条路径的总几率幅便是$(i\varepsilon)^N$,N是改变方向的次数。从一个空-时点到邻近的一个空-时点,有左右两条略径,总几率幅是两条路径的几率幅之和,其中一个比另一个多一额外因子$i\varepsilon$。令$\varepsilon \to 0$,费曼得出了二维空-时的二分量狄拉克方程。接着费曼试图把它推广到三维空间,但种种努力均以失败告终,最后他不得不暂且回到非相对论的情形,取作用量A的第一项为$\frac{1}{2} m\dot{x}^2$。

对作用量A的第二项,费曼开始认为没什么问题,因为他可以用新作用量来走义能量和动量,并且还证明,只要加上满足半推迟和半超前解的特殊边界条件,他的作用量就等价于Frnkel场(不计所考虑的电子产生的场)。但若要在他的框架内描述传统的推迟作用理论,他就得写出几率幅,这意味着要进行双重路径积分。为此,费曼就各种边界条件以及各种形式的作用量:比如用$f(s^2)$或s+代替$\delta$进行大量计算和验证。但结果却不能令人满意,因为他所定义的能量现在成了复数,几率也不能保持幺正性。

五年的苦思冥想并没有达到他的目标:一个令人满意的量子电动力学理论。但正是这一艰苦的思索t费曼获得了一个“奇妙的世界图像,它由时空中的世界线编织而成,万物皆可随心所欲地运动,而实际所发生的则是各种可能的历史的总和。”([1],p.61)回到非相对论情况,他在博士论文的基础之上,得出了量子力学的第三种表述形式--作用量量子化的路径积分方法。1948年,他在《现代物理评论》上发表了这一惊人之论“非相对论量子力学的空-时描写”。这里,费曼从几率幅的叠加原理出发,利用作用量量子化方法完整地建立了路径积分理论。从一个空-时点到另一个空一时点的总几率幅是各种可能路径的几率幅之和,每一路径的几率幅为$exp[\frac{i}{\hbar}S]$,S对应于该路径的经典作用量。

把作用量引进量子力学,费曼便架起了一座联结经典力学和量子力学的新桥梁。在费曼的理论中,普朗克常数$\hbar$意义鲜明。《量子理论史》一书的作者R.Hund曾说,“量子理论就是关于h在自然中的作用的研究。”[11]。在普朗克的理论中,h没有独立的意义,它是与频率联系在一起的,也就是说$h\nu$是能量量子。照玻尔-索末菲理论,原子中的电子只能循某些特定的可能轨道绕核运动,这些可能的轨道由角动量量子化条件$\oint pdq=n\hbar$来确定,$\hbar$是角动量的基本单位。在矩阵力学中,$\hbar$出现在非对易关系式中,它的意义是共轭力学量的统计散差。波动力学中,$\hbar$是联系波粒二象性的主角,$P \to i\hbar\frac{\partial}{\partial X},E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$。而今依照费曼理论,$\hbar$出现于几率幅的相位之中,因此它必定与作用量有同祥的量纲[12]。换句话说,它就是作用量的量子。

利用作用量量子化方法,几率幅概念便为量子力学中最基本的概念而凸现出来。六十年代之后,费曼的观点通过他的讲演和论著,对年轻一代的物瑝学家产生了巨大的影响。对此,S.S.Schweber评论道:“其阐发非相对论量子力学的路径积分形式的博士论文和1947年《现代物理评论》上的文章。以极度清晰的方式让我们领悟到描述微观实体的标准量子力学的基本假设。他的表述,是一种超越于常规表述的崭新的形式。可以说,他对量子力学的重新表述和他的‘路径积分’将是其对物理学的最为深远而持久的贡献。它们不仅大大深化了我们对量子力学的理解,而且极大地扩展了可被量子化的系统。”[13]

到七十年代,老一辈的物理学家都改变了对量子力学核心概念的看法。1972年,海森盤在庆祝狄拉克七十华诞的讲演中说:“态的概念…只有在量子力学和波动力学建立之后才能理解。”确实,所谓波函数应该正确地称之为态函数。如果我们考虑推迟相互作用,拉格朗日函数的形式是$L(X(t),X(t+T))$,它是两个不同时刻的位置的函数。此时应用哈密顿方法会非常笨拙,应用路径积分方法,我们就无需标明每一时刻的细节,不必利用微分方程从$\Psi(x,t')$得出$\Psi(x,t)$,而只用直接考虑从$\Psi(x_a,t_a)$到$\Psi(x_b,t_b)$的各种可能路径。这样,波函数便失去了意义,波粒二象性和互补原理现在成了建造量子力学大厦的脚手架。而量子力学中的不确定关系,诚如林赛和马根脑所言,直接源自量子力学所特有的态的定义之中。

量子力学中的态的概念,关洪先生在《量子力学中的基本枨念》一书中作了精辟的分析。([4],第六章)关洪指出,态函数本身并不是一个动力学变量,但一组动力学变量的本征值确定了一个特定的量子力学态。描述一个物理系统需要多少个力学变量,取决于我们对该系统的知识。随着粒子物理学的进展,我们陆续给一个粒子添上新的力学变量,如自旋、同位旋、宇称、奇异性和色荷。一个力学变量时具体形式要经受物理试验的检验,对应原理只是一个启发工具,它不是量子理论的内核。拿哈密顿量来说,$\frac{P^2}{2m}$已经受了大量的检验,库仑势$\frac{Ze^2}{r}$由原子能级分裂和散射试验所确证,而牛顿势$\frac{GMm}{r}$直到七十年代的中子干涉试验方才确定下来。在量子理论中,一个力学变量必须采用算符的形式。但并不是所有的算符都可写成位置和动量的表示式,如自旋和同位旋就不能,因此,非对易关系只是对某些算符的具体规定。六十年代,狄拉克还把非对易关系作为量子力学的基本特征。到七十年代,狄拉克也转而相信,量子力学的基本特征是几率幅的存在,而不是他宠爱的非对易代数,井耳说正是靠學森堡和薛定谔的天才,带相位的几率幅的存在方才向人们泄密[16]。

“量子力学中的几率概念并没有改变”在《量子力学与路径积分》这本著作中,费曼开门见山地指出:“所改变了的,并且根本地改变了的,是计算几率的方法。”[17]显然,费曼的观点与统计诠释的精神是一致的,但他并没有与哥本哈根观点相决裂。“几率幅几近不可思议”([8],P.166),费曼说,然而“迄今尚无人识破其底蕴。


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