不可交换

很自然会想到把这种方法延伸到变系数微分方程的求解,也许有读者回去自己摆弄了一下却总得不到合适的解而感到困惑。在这里群的非Abel性就体现出来了,首先用一个例子来说明一下,我们考虑算子的复合
$$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+(Dx-xD)$$

我们要谨慎使用交换律,我们记$[P,Q]=PQ-QP$

其中P和Q是两个算子,此即量子力学中的“对易式”,用来衡量算子P和算子Q的可交换程度,当然,它本身也是一个算子。我们先来求出$[D,x]$给出了什么(要是它是0的话,那就表明运算可以交换了)。究竟它等于什么呢?直接看是看不出的,我们把它作用于一个函数:
$$[D,x]y=(Dx-xD)y=D(xy)-xDy=yDx+xDy-xDy=y$$

由于“近水楼台先得月”,所以$Dxy$表示x先作用于y,然后D再作用于(xy);而$xDy$表示D先作用于y,然后x再作用于Dy。最终我们得到了
$$[D,x]y=y=1\times y$$

也就是说[D,x]作用于y等价于1乘以y,所以
$$[D,x]=1$$

那么$(D-x)(D+x)=D^2-x^2+1$

这样,一类二阶变系数方程$D^2 y-(x^2-1)y=f(x)$的通解为
$$y=(D+x)^{-1} (D-x)^{-1} f(x)$$

根据上一节的(3)便可以求出它的具体解。

变系数线性常微分方程

理论上来说,一般的变系数线性微分方程也可以用类似的方法拆分求解,但是很遗憾的是,由于算子的非Abel性,我们很难确定拆分后的具体函数形式。因为求导算子和常数具有可交换性,所以在常系数微分方程中可以直接通过求根来分解;但是如上例所体现的那样,对于一般函数与求导算子的混合,由于不可交换性,求根变得不可行了。

考虑二阶线性常微分方程
$$[D^2+g(x)]y=f(x)\tag{12}$$

并考虑算子
$$[D-a(x)][D+a(x)]=D^2-a^2 (x)+a'(x)$$

我们希望求出的a(x)能够满足
$$-a^2 (x)+a'(x)=g(x)\tag{13}$$

这样的话,就可以成功地分拆(12)了。而且,我们只需要(13)的一个特解即可。形如(13)的方程称为Riccati方程,虽然它是一阶的,但它本质上还是一个二阶变系数线性常微分方程。因为令$a(x)=-\frac{u'}{u}$,有
$$a'(x)=-\frac{u''}{u}+(\frac{u'}{u})^2=-\frac{u''}{u}+a^2 (x)$$

这样(13)可以化为(14):
$$u''+g(x) u=0\tag{14}$$

这又是一个二阶变系数线性常微分方程,所以这就好像陷入了一个死循环。因此这种方法的可延拓性不大,不过它可以用于“事后分析”,即先给定算子,然后再确定某种特定的方程形式,然后用这个算子来求解这一类特定的方程,这在很多时候也是一种可行的办法,在量子力学中的谐振子问题就是用类似的方法处理的。

我们还可以发现,知道了(14)的一个特解,就等价于知道了(12)的通解,换句话说:$[D^2+g(x)]y=0$的一个特解等价于$[D^2+g(x)]y=f(x)$的通解。这不能不让我们感受到数学的奇妙之处:局部的性质就可以推出全体的性质。广义上来讲,这也可以看作一种“类比”吧?这让我联想到了量子力学有异曲同工之妙:同样已知波函数的初始形式,就可以通过傅里叶分析得到它的一般形式。数学总在各个地方体现出它让人意外的美妙。


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