记得几年前,BoJone提供过一个证明均值不等式(代数—几何平均不等式)的方法,但是其中的证明有点长,有点让人眼花缭乱的感觉(虽然里边的思想还是挺简单的)。昨天在上《数学分析》课程的时候,老师讲到了这个不等式,也讲了他的证明,用的是数学归纳法,感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法,可是在昨天划了一整天,都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来,所以就放在这里与大家分享,同时也作备忘之用。

对于若干个非负数$x_i$,我们有
$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}$

记为$A_n \geq G_n$

证明1:数学归纳法
这个方法不算简单,但是非常巧妙,它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路,而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。

假设$A_n \geq G_n$成立,要证$A_{n+1} \geq G_{n+1}$。我们有

$2n A_{n+1}=(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1}$
$=[x_1 + x_2 +...+x_n]+[x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}]$
$\geq nG_n+n(x_{n+1}*A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{n}}$
$\geq 2n(G_{n+1}^{n+1}*A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{2n}}$

化简即得:$A_{n+1} \geq G_{n+1}$

这就完成了从n到n+1的递推。其他细节略。

证明2:对数方法

这个方法更巧妙,更简单,有可能是我见过的最简单方法了。它利用的一个很简单的公式是对于所有非负数x,有$e^x \geq 1+x$。

(为了方便排版,记$exp(x)=e^x$)

$exp(\frac{n A_n}{G_n}-n)$
$=exp(\frac{x_1}{G_n}-1)*exp(\frac{x_2}{G_n}-1)...exp(\frac{x_n}{G_n}-1)$
$\geq \frac{x_1}{G_n}*\frac{x_2}{G_n}...\frac{x_n}{G_n}$
$=1$

也就是说
$exp(n\frac{A_n}{G_n}-n) \geq 1$

稍稍化简就有$A_n \geq G_n$


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