设想两个带有等量异号电荷的点电荷,它们之间的距离足够小,这样的一个模型被称为电偶极子(electric dipole)。我们研究电偶极子,主要是研究它在力学方面的性质。很多东西都可以用电偶极子来近似描述,比如一个小磁体周围的磁场,还有地球本身也可以近似看做一个偶极子来描述它的磁力情况,以及一些双原子分子的模型也被可以看做一个电偶极子模型,等等。在电偶极子模型中,两电荷的距离足够小,以至于我们忽略了一些关于距离的高次方项,只保留了线性部分,但对于物理探索来说,它已经足够精确,更重要的是,它足够简单,以至于我们可以容易把它清晰地描述出来。电偶极子.PNG

我们先来研究电偶极子产生的电势。设它们各自的电荷量为q和-q,两者距离为ε,根据库仑定律,一个点电荷产生的电势,正比于该电荷的电荷量,同时反比于到该点电荷的距离。那么,一个电偶极子产生的电势为
$U=C(\frac{q}{r}+\frac{-q}{|\vec{r}-\vec{\varepsilon}|})$————(1)

其中$r=|\vec{r}|$,C是一个比例常数。直接用(1)式来研究是比较麻烦的,为此,我们强调了ε是比较小的,因此我们用泰勒级数将它展开来。

$\frac{1}{|\vec{r}-\vec{\varepsilon}|}=\frac{1}{\sqrt{r^2+\varepsilon^2-2\vec{r}*\vec{\varepsilon}}}$
$=\frac{1}{r\sqrt{1-2\frac{\vec{r}*\vec{\varepsilon}}{r^2}}}$(忽略了关于ε的平方以上的项)
$=r^{-1}(1-2\frac{\vec{r}*\vec{\varepsilon}}{r^2})^{-0.5}$
$=r^{-1}(1+\frac{\vec{r}*\vec{\varepsilon}}{r^2})$

代入(1)式,得到
$U=-\frac{Cq\vec{r}*\vec{\varepsilon}}{r^3}$————(2)

这是向量形式,我们用极坐标表示,得到一个简洁的形式:
$U=-\frac{Cq \varepsilon cos\theta}{r^2}=-\frac{k cos\theta}{r^2}$————(3)

这也就是说,电偶极子的等势面(线)由$-\frac{k cos\theta}{r^2}=const$给出。曲线的形状大概如下:

电偶极子的等势图.jpg

电偶极子的等势图(来自维基百科)

知道了它的势场,就可以得到它的力场了。从高中的物理就知道,电场线总是与等势面垂直。从数学的角度来讲,那就是
$E_x=\frac{\partial U}{\partial x},E_y=\frac{\partial U}{\partial y}$

我们希望求出电场线的轨迹方程,但是我们已知的是势能的极坐标形式。一个有效但是比较麻烦的方法是把U的表达式换回直角坐标形式,然后利用$\frac{dy}{dx}=\frac{E_y}{E_x}=\frac{\partial U/\partial y}{\partial U / \partial x}$来求出电场线的轨迹。下面我们从极坐标角度直接求电场线轨迹。

在极坐标中,对于任意一条曲线$U(r,\theta)=c$,当点从$(r,\theta)$移动到$(r+dr,\theta+d\theta)$时,U的增量为
$dU=\frac{\partial U}{\partial r}dr+\frac{\partial U}{\partial \theta}d\theta$

由于U恒等于c,所以上述微分必然会等于0。即
$\frac{dr}{d\theta}=-\frac{\partial U}{\partial \theta} / \frac{\partial U}{\partial r}$————(4)

我们可以改写成
$\frac{dr}{rd\theta}=-\frac{\partial U}{\partial \theta} / (r\frac{\partial U}{\partial r})$————(5)

这样改写是因为在我们的印象里,$dr$和$rd\theta$是两个相互垂直的量(微分的基本单元),其作用就是直角坐标系的$dx$和$dy$一样,那么(5)式左端就具有(等势面的)斜率的意义了,而右边就应该是电场力的两个垂直分量之比了。

电场线要求与等势面垂直,那么它的斜率就应该是$-\frac{rd\theta}{dr}$,即电场线的微分方程为

$-\frac{rd\theta}{dr}=-\frac{\partial U}{\partial \theta} / (r\frac{\partial U}{\partial r})$————(6)

$\frac{d\theta}{dr}=\frac{\partial U}{\partial \theta} / (r^2\frac{\partial U}{\partial r})$————(7)

将$U=-\frac{k cos\theta}{r^2}$代入(7)式,就得到
$\frac{2cos\theta d\theta}{sin \theta}d\theta=\frac{1}{r}dr$————(8)

对(8)式两端积分就得到
$2ln(sin\theta)+Const=ln r$

也可以写成$\frac{sin^2 \theta}{r}=Const$————(9)

这就是偶极子的电场线方程。其形状大概如图
电偶极子的电场线.PNG

电偶极子的电场线(来自维基百科)

至此,BoJone对电偶极子的研究已经完成一半了。本文是在《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》的启示之下完成的,但是《数学桥》与本文相关的内容中却有一点叙述不严谨的地方。在《数学桥》中文版278页说到:

在一个偶极子(磁体模型)周围,任何一个带电粒子将沿着下式所代表的曲线运动
$\frac{sin^2 \theta}{r}=k$

但是经过我的验算,带电粒子在电偶极子场中的运动轨迹一般只能够用椭圆积分来描述(这将在下一篇文章说到);而上式只不过是偶极子的电场线方程而已,一般来说电荷是不会沿着电场线运动的(除非是直线)。这也是一开始让BoJone百思不得其解的地方,现在BoJone在此想“妄下定论”,这是书本的叙述错误,请阅读《数学桥》的朋友们注意一下。当然我没有阅读过英文原著,不能确定是翻译问题还是原著问题。

后一篇文章,我们将会探讨在这样的一个电偶极子场中带电粒子的运动情况。


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