如图是一个三角形,要求三角形的外角和。外角和定义为“多边形每一个内角的补角之和”,比如这里的∠DAC+∠FCB+∠EBA。当然,这里一般指的是凸多边形。

三角形的外角和 (1).PNG

显然,这并不是一个什么大难题,答案是360度,方法有很多,直接用内角和公式计算、想象成旋转一周甚至你亲自去测量一下都行。但我觉得最妙的方法无疑是下面的方法。

看着上图,是很难得出外角之和为360度的结论的,不过那只是因为我们距离它太近了,所以“不识庐山真面目,只缘身在此山中”。让我们把直线加粗一点点(使我们不至于看不清线段),然后离它远一些再观察。

三角形的外角和 (2).PNG

还是不能看出真相?那我们再加粗,再离它远一些

三角形的外角和 (3).PNG

重复下去...最后,我们“一不做,二不休”,干脆站到连三角形都看不清的无穷远的地方,得到

三角形的外角和 (4).PNG

玩放大镜的知识告诉我们,放大镜能够改变长度、面积、体积,却无法改变角度的大小。所以不论我们站在多远,看到的景物缩小了,但是角度不会有变化。现在三角形已经缩小为一个点了,我们得到了什么?三个角!其大小就是那三个外角,它们拼合成了一个圆周!显然,它们的和为360度!所以,三角形的外角和为360度!

妙哉!这是一种极限思想,也是一种聪明、玩闹的体现:他要我求三角形的外角和,却没有说要我求多大的三角形的外角和,我求一个很小很小的三角形的外角和就行了,这容易多了......

一般的多边形也可以类比这样的证明....它使数学变得有趣而美丽了。

(该思想来自“科学松鼠会”)


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