上一篇文章我对“费曼积分法”做了一个简单的介绍,并通过举例来初步展示了它的操作步骤。但是,要了解一个方法,除了知道它能够干什么之外,还必须了解它的原理和方法,这样我们才能够更好地掌握它。因此,我们需要建立“积分符号内取微分”的一般理论,为进一步的应用奠基。

一般原理

我们记
$G(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} f(x,a)dx$

在这里,f(x,a)是带有参数a的关于x的函数,而积分区间是关于参数a的两个函数,这样的积分也叫变限积分,可以理解为是普通定积分的推广。我们记F(x,a)为f(x,a)的原函数,也就是说$\frac{\partial F(x,a)}{\partial x}=f(x,a)$,那么按照微积分基本定理,我们就有:
$G(a)=F(n(a),a)-F(m(a),a)$

对a求导:

$\frac{d G(a)}{da}=$
$\frac{\partial F(n(a),a)}{\partial n(a)} \times \frac{d n(a)}{da}+\frac{\partial F(n(a),a)}{\partial a}-\frac{\partial F(m(a),a)}{\partial m(a)} \times \frac{d m(a)}{da}-\frac{\partial F(m(a),a)}{\partial a}$

这个这么长的式子实则告诉我们:
$G'(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} \frac{\partial f(x,a)}{\partial a} dx + f(n(a),a) \times \frac{d n(a)}{da}-f(m(a),a) \times \frac{d m(a)}{da}$

这就是“积分符号内取微分”的法则!如果m,n是一个常数,那么直接变成了

$G'(a)=\int_{m}^{n} \frac{\partial f(x,a)}{\partial a} dx $

“费曼积分法”之所以能够奏效,关键是“求导”这一步看似化简为繁,实则在求导过程中让许多繁琐的东西暂时消失了,得到一个相对简单的结果,然后再还原,这在某种意义上来说是分步处理的思想。

更多的例子

为了进一步说明费曼积分法的应用,下面BoJone将展示更多的例子,需要说明的是,前面展示的一个例子是运算量相对较低的,而一般的定积分运算往往都比较复杂,不论是哪种方法,都要借助某个变换将其变成我们熟悉的积分,因此,需要积累一定的定积分结果,知道一些基本的可积函数等等。(当然啦,必要时还可以查《积分表》

另一方面,费曼积分法的核心之处在于参数的选择,并不是每一个要求的积分都是带有参数的,比如$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{tan x}dx$,而且即使给出了,给出的参数也不一定符合要求,因此,我们需要逐渐领悟怎么去为被积函数“改装”成带有参数的形式,而原定积分则作为参数取某个特殊值时的情况。至于怎么增加参数,参数的形式怎么确定,BoJone对此也是一知半解,有待进一步提高。

例子1:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{tan x}dx$$

这还算时一种比较常见的形式,它的基本形状为$\int \frac{x}{f(x)}dx$,我们的办法是试着(每一次运算都是一次尝试)将它改装成$\int \frac{f^{-1}(a \times f(x))}{f(x)}dx$,其中$f^{-1}(x)$是$f(x)$的反函数,原积分就等价于a=1时的情况。为什么要这样做呢?只要你将它一求导就会明白了^_^

对于这道题目,我们将它变成

$$G(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{arctan(a \times tan x)}{tan x}dx \\ f(x,a)=\frac{arctan(a \times tan x)}{tan x}$$

那么
$$\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}=\frac{1}{a^2 tan^2 x+1} \\ =\frac{cos^2 x}{a^2+(1-a^2)cos^2 x} \\ =\frac{1}{1-a^2} [1-\frac{2a^2}{(1+a^2)+(1-a^2)cos 2x}]$$

等等等等等等,首先得弄清楚我们究竟在干什么,我们究竟想干什么。求导后的下一步就是要积分,什么形式的积分可以被简单地积分出来呢?查查《积分表》就可以知道,形式$\int \frac{1}{a+b \times cos x}dx$类型的积分是可以积分出来的,因此我们要尽量将它往这个形式靠拢!

最终得到:
$$G'(a)=\frac{1}{1-a^2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} [1-\frac{2a^2}{(1+a^2)+(1-a^2)cos 2x}]dx \\ =\frac{1}{1-a^2} [x-a \times arctan(a \times tan x)]|_0^{\pi/2} \\ =\frac{1}{1-a^2}(\frac{\pi}{2}-a \times \frac{\pi}{2}) \\ =\frac{\pi}{2(1+a)}$$

再积分就得到
$$G(a)=\frac{\pi}{2}[ln(1+a)+C]$$

当a=0的时候,f(x,a)=f(x,0)=0,所以$G(0)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 0dx=0$,由此得出C=0

顺便提及一下,关于首步的积分(对x变量的)结果,有经验的读者会从
$\frac{1}{a^2 tan^2 x+1}$
得到灵感,猜测原函数会是$arctan(a \times tan x)$的形式,对它求导,我们会发现:
$$\frac{d(\frac{1}{a^2 tan^2 x+1})}{dx}=\frac{1}{a^2 tan^2 x+1} \times \frac{1}{cos^2 x} \\ =\frac{1}{a^2 tan^2 x+1} \times (1+tan^2 x) \\ =\frac{1}{a^2 tan^2 x+1} \times (\frac{1}{a^2}+tan^2 x+1-\frac{1}{a^2}) \\ =\frac{1}{a^2}+\frac{1-\frac{1}{a^2}}{a^2 tan^2 x+1}$$

这与要求的只相差一个常数,所以可以很快得出原函数$\frac{1}{1-a^2} [x-arctan(a \times tan x)]$了。当然,这对数学思维有一定的要求。

说明:也许读者看到上面的过程后会感觉很头痛,疑问:这哪里简单了,明明这么复杂!其实不论用哪种方法,微积分运算的过程都是相当复杂的,关键是一个算法的操作性和可行性。换句话说,我们知道可行了,就可以按部就班地算下去。运算过程的繁琐不是一个问题的难度所在,好问题的难度在于:如何得到这一个灵感,让我们得到这一个过程!

为了使文章不至于过长,更多的例子就放在下一篇文章了。


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