引力透镜
————用经典力学推导光的引力偏转角公式

引力透镜效应造成的爱因斯坦十字.jpg在2012年第四期的《天文爱好者》上,Richard de Grijs(何锐思)教授的《引力透镜——再领科学潮》一文详细而精彩地讲述了有关引力透镜方面的知识,尤其是它在天文方面的重要应用,让我收获颇丰。笔者在赞叹作者优美的文笔和译者程思浩同好的生动翻译之余,也感到了一丝不足。文章主要讲了引力透镜在天文研究中所扮演的重要角色,却未对引力透镜的原理、本质方面多加描述。时空的扭曲是广义相对论给出的答案,可是难道仅仅从经典力学就不能领略丝毫?藉此,BoJone这在里对引力透镜多说些东西,与大家相互学习研究。当然,由于我只是一个初出茅庐的业余爱好者,其中的不当之处还望各位斧正。

引力透镜成因

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引力透镜是怎么产生的?当然是因为光在引力场中会偏折。可是光线好端端地有直路不走,为什么要走弯路呢?根据费马原理,光总是走用时尽可能少的路径去到达目的地注*,要是走曲线,那不是违反这一原理了吗?通常我们会用广义相对论来回答:质量导致了时空维度的扭曲,使得空间两点间的最短距离不再是直线(就像地球表面上的两点间的最短距离是圆弧)。但广义相对论的说法是比较专业的,并不怎么直观。我们或许可以用经典理论来换一个角度思考这个问题。

平时光从透镜中会发生折射,是因为透镜具有大于1的折射率,这意味着什么呢?事实上这表明光在透镜中(玻璃)传播速度更慢。根据光学中的费马原理,它要走折线才能花最短的时间,这就导致了折射定律。“引力透镜”是否有类似原理呢?光在引力场中的速度变慢呢?在某种意义上是可以这样认为的,因为光在扭曲的高维时空中走了一条曲线,而在我们三维空间看来,它走的依然是直线,但是时间却变长了,所以看起来速度就变慢了,这等价于它有了一个时空的“折射率”,因此它就得走弯路了。注**反过来,如果肯定“光在真空中速度不变”这一相对性原理,那么就可以得出“质量把时空扭曲了”这一结论,因为只有这一观点才能保持费马原理的正确性。这也是用引力透镜来检验广义相对论的原因。

另一方面,从经典力学的角度来讲,根据光子能量$E=h \nu$和质能方程$E=mc^2$可以得出$m=\frac{h\nu}{c^2}$ ,即光可以看成质量为$m=\frac{h\nu}{c^2}$的粒子。既然如此,粒子经过引力场受到引力作用当然会偏折了。这是天体力学中的“二体问题”注***。令人意外的是,任何一个有一些天体力学基础的同好,都可以从这个角度出发,由经典天体力学的一些定律,加上一些不严谨的假设,来得出光在引力场中的偏转角公式。而且最不可思议的是,不严谨的结果与广义相对论的结果完全一致!当然这只是一个神奇的巧合,它并不严谨,但也有一定的欣赏价值。在这里与各位同好分享,也权当抛砖引玉。

经典力学:光在引力场的偏转角

双曲线.PNG光子的速度为c,这已经远远大于许多恒星的第二宇宙速度了,根据天体力学,光子经过这些恒星附近走的是双曲线了,恒星(太阳)位于双曲线的一个焦点上。由解析几何,对于任意一条双曲线,其方程为
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 $

如何表示偏转角呢?我们可以考虑双曲线的两条渐近线:$\frac{y}{x} = \pm \frac{b}{a}$

如图,θ角的大小就是偏转角的大小,而且$\theta=2\varphi=2 arctan\frac{a}{b}$ ,假设双曲线的离心率e非常大(光线在引力场正是这种情况,因为它的初速度为c,非常大),那么就有 a << b,
$\frac{a}{b}=\frac{a}{a\sqrt{e^2-1}} \approx \frac{1}{e} \approx 0$

对于很小的角度θ,有tanθ≈θ,所以有
$\theta \approx 2 arctan \frac{1}{e} \approx \frac{2}{e}$ 。

接下来的目标是求出e。天体力学中有一条重要的“活力公式”(这似乎是奥赛朋友们必懂的?)
$v^2=2GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$ ,对于双曲线来说变成了$v^2=2GM(\frac{2}{r}+\frac{1}{a})$ ,它描述了速度v岁距离r的变化情况。当然光速不会变化,但是这里我们忽略这一情况,我们假设光到达“近日点”(图中的B点)时速度为c,那么就有v=c以及r=a(e-1)≈ae了,代入活力公式就可以得出
$c^2 = 2GM(\frac{e}{r}+\frac{2}{r}) = \frac{2GM(e+2)}{r} \approx \frac{2GMe}{r}$

即$e \approx \frac{c^2 r}{2GM} $,代入$\theta \approx \frac{2}{e}$得到
$\theta \approx \frac{4GM}{c^2 r} $
这恰好就是广义相对论所给出的结果!可以说,要初步理解引力透镜,不一定需要广义相对论这个精深的理论!

Euclid调研报告的扉页题图.png

低头测量宇宙的欧几里德.诺贝尔奖得主Euclid调研报告的扉页题图,这个看上去很残疾的独臂独腿形象实际上来自拉斐尔的名画“雅典学院”

再说一点

至于为什么可以由经典力学类比而读出广义相对论的正确结果呢?我想原因之一是光子虽然拥有质量,但是质量很小,在这种情况下牛顿引力理论是适用的。也有可能是既没有考虑相对论效应,又没有考虑量子效应,所以两个错误“负负得正”而相消了。这和由第二宇宙速度公式$v =\sqrt{\frac{2GM}{r}}$得出黑洞半径$r_g = \frac{2GM}{c^2}$的正确公式有着异曲同工之妙。不过我对引力理论不了解,就不再多说些什么了。就单纯把过程放在这里,供大家参考。

上面是BoJone在看了《引力透镜——再领科学潮》一文后,心生兴趣而无意中的推算结果。我一直坚持厚积厚发,薄积薄发,拥有小小的知识也可以尽自己的力量去研究、分析天文物理现象,得出一些令人兴奋的结果,也许过程并不严谨、结果并不正确,这并不妨碍我们追逐天文的兴趣,相反,这是我们追逐天文之梦的动力和途径之一。

附加

*严格来讲,费马原理指的是光走的路径所需要的时间总是一个“极值”,有可能是极大值、极小值或者是恒定值,但是这里为了通俗描述,采取了一般的描述(最小值),这是在大多数情况下都成立的。

**可以想象一下,沿地球表面从南极匀速走到北极,而在外界看来我们只是从直线走到北极,那么外界看到的速度比我们的真实速度要慢。

***要想对“二体问题”有进一步的了解,在本blog搜索相关文章。


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