首先我们考虑下级数
$S=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}(1/i)=1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^{n+1}(1/n)$
当$n->\infty$的敛散性。

首先由于$\lim_{n->\infty}(-1)^{n+1}(1/n)=0$,所以如果S发散,必定$S->\infty$.

我们不妨假设这个级数发散,于是

(一)
$S=(1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/{2n}-1/{2n+1})$
由于每一个括号内都为正,所以S应该趋向$+\infty$.

(二)
$S=1+(-1/2+1/3)+(-1/4+1/5)+...+(-1/{2n}+1/{2n+1})+1/{2n+2}$
由于每一个括号内都为负,而且$\lim_{n->\infty}(1+1/{2n+2})=1$,所以所以S应该趋向$-\infty$.

但S不可能同时趋于$+-\infty$,所以原假设错误。S收敛。

由此可以推出一个级数的审敛法则:

定义级数$\sum_{i=1}^{n}=(-1)^{i}a_i$或$\sum_{i=1}^n=(-1)^{i+1}a_i$为交错级数。

如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}=(-1)^{i}a_i$满足:

1. $\lim_{n->\infty} a_n=0$
2. $a_i>= a_{i+1} $

则该级数收敛!证明过程同上例。


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