上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上,这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来,换句话说,“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中,数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”,继而打开数学之门

接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前,我们得需要看一个引理

无限数列${a_n}$的每一项都大于0,那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说,两者互为充分必要条件!

怎么证明呢?记$S=a_1+a_2+...+a_n,T=\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)...\left(1+a_n\right)$。首先证明 T > 1+S,这应该很简单,因为$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)=1+a_1+a_2+a_1 a_2 > 1+\left(a_1+a_2\right)$,所以$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\left(1+a_3\right) > [1+\left(a_1+a_2\right)]\left(1+a_3\right) > 1+\left(a_1+a_2+a_3\right)$,一直递推下去即可。接着我们回忆一下一条平均不等式:倘若$x_i$都是正数,那么:
$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2...x_n}$$
或者写成
$$x_1 x_2...x_n \leq \left(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\right)^n$$
这样的话
$$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)...\left(1+a_n\right) \leq \left(\frac{n+a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)^n =\left(1+\frac{S}{n}\right)^n$$
最后一步由自然对数的底e的定义可以得到$\left(1+\frac{S}{n}\right)^n < e^S$。于是我们实际证明了:$T < e^S$,综合起来就是
$$1+S < T < e^S$$

于是,T的值域完全由S决定了起来。显然,S有限的情况下,T不可能趋于无穷!将n推广至无穷显然也是成立的。证毕。顺道提一下:可以检验发现,$e^S$是$T$的一个相当好的近似值,其精确度远远超越$\left(1+S\right)$,于是在相当多的情况下,可以直接用$T \approx e^S$

现在拿出我们的“金钥匙”——$\xi \left(s\right)=\prod\limits_{p} \left(1-p^{-s}\right)^{-1}$。这里我们只用到s=1的情况,并且将右端的素数截取到p,即
$$\begin{aligned}
&\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...\right)\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...\right)...\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...\right)\\
=&\frac{2}{2-1}\cdot \frac{3}{3-1}\cdot \frac{5}{5-1}\cdot ...\cdot \frac{p}{p-1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{p}+...\\
> &1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{p} \\
> &\ln\left(p+1\right)\end{aligned}$$

记第n个素数为$p_n$,不难证明:$\frac{p_n}{p_n -1} < 1+\frac{1}{p_{n-1}}$。

于是
$$\begin{aligned}\ln\left(p+1\right) < &\frac{2}{2-1}\cdot \frac{3}{3-1}\cdot \frac{5}{5-1}\cdot ...\cdot \frac{p}{p-1} \\
< &2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)...\left(1+\frac{1}{p}\right)\\
< &2e^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{p}\right)}\end{aligned}$$

记$Q=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{p}$,即有$\ln\left(p+1\right) < 2e^Q$,则
$$Q > \ln \ln \left(p+1\right) -\ln2$$

因为存在无穷大的素数(素数的个数无限,且递增),所以所有素数倒数之和发散!证毕。

最后,根据前边的“$e^S$是$T$的一个相当好的近似”,我们就可以认为$ \ln \ln p$是Q的一个相当好的近似。


转载到请包括本文地址:http://spaces.ac.cn/archives/1510/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!