本文将再次谈到对称这个话题,不过这一次的对象不是“等式”,而是“不等式”。

在数学研究中,我们经常会遇到各种各样的函数式子,其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢?对称有很多种说法,但是针对于多元对称式,我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数,其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲,就是将式子中任意两个未知数交换位置,得到的式子还是和原来的式子一样。例如$sin x+sin y$,把x,y交换位置后得到$sin y+sin x$,还是和原来的一样;再如$xy+yz+zx$,将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$,结果还是和原式一样;等等。有些对称的函数是一个n次的多项式,那么就叫它为n次对称多项式,上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。

对称有什么好处?

BoJone已经在之前的一些文章中提到过“对称”有助于我们最初解答,例如对称的物理系统中比较容易求出首次积分,诺特定理也告诉我们物理系统的对称对应着守恒定律。当然,这些说法都是很抽象的,只有学习到了理论物理知识才会有比较深的体验。那么对于我们来说,对称能够帮助我们什么呢?这里仅仅举一个例子:多项式展开。

例如我们要展开$(a+b+c)^3$,除了按照四则运算按部就班地算外,我们还有一个办法:待定系数法,这也是计算机代数证明中用到的方法。我们知道$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有$a^3,b^3,c^3$这三项,而且由于$(a+b+c)^3$是对称的式子,换句话说,a,b,c的“地位”是等价的,因此$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有一部分是这个形式的:$\lambda_1 (a^3+b^3+c^3)$;接下来我们又可以想$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有$a^2 b$这一项,同时还有$a^2 c,b^2 a, b^2 c, c^2 a, c^2 b$这五项,我们不应该着眼于这些项的a,b,c字母,而是看出它们的本质:它们都是其中一个未知数的平方乘上另外一个未知数,于是这六项的地位也是等价的,于是$(a+b+c)^3$的展开式中必定会有$\lambda_2 (a^2 b+a^2 c+b^2 a+b^2 c+c^2 a+c^2 b)$。最后一项是$\lambda_3 abc$,于是我们知道:

$(a+b+c)^3=$
$\lambda_1 (a^3+b^3+c^3)+\lambda_2 (a^2 b+a^2 c+b^2 a+b^2 c+c^2 a+c^2 b)+\lambda_3 abc$

究竟$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$是多少,我们只需要将三组数据代入就可以得到具体数值,这是一道三元一次方程组。试想,要是a,b,c是不对称的,那么我们就得给上面的每一项都设置一个未知的系数(共有10项),代入具体数据,然后我们就会得到一道十元一次方程组。可见,对称性让我们大大减少了计算量。其实对称的好处还有很多,不妨再往下看?

对称不等式

对了准备即将来临的数学竞赛,BoJone还算深入地研究了一下不等式的证明,尤其是n次对称不等式。我们发现,数学竞赛中对称不等式的证明是比较多的。例如已知非负数x,y,z满足$x+y+z=1$,在1984年的IMO上要我们证明
$$0 \leq xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{7}{27}$$
在去年的广东省数学竞赛预赛题中也有类似的题目,它要我们证明:
$$9xyz \leq xy+yz+zx \leq \frac{1}{4} (1+9xyz)$$

在第41届IMO中,已知xyz=1,要我们证明
$$(x-1+1/y)(y-1+1/z)(z-1+1/x) \leq 1$$
还有类似的
$$\frac{1}{\sqrt{1+8x}}+\frac{1}{\sqrt{1+8y}}+\frac{1}{\sqrt{1+8z}} \geq 1$$

简单的例子还有我们常见的平均不等式$x^3+y^3+z^3-3xyz \geq 0$等。例子还有很多,就不一一列举了。下面介绍一种不等式的“物理证明”。一般来看,它不是一种很好的证法,甚至可以说是一种“丑陋的证明”,但是却是一种在许许多多情况下行之有效的办法。

统一量纲

现在我们把所有的未知数看成是具有长度量纲的量,而所有的常数看成是零量纲的量。在数学上经常看到诸如$a-1$的式子,但是在物理中是绝不能出现的,因为这意味着一个有量纲的量减去无量纲的量,这是不成立的。而我们注意到在上面的一些例子中,如$4(xy+yz+zx)-9xyz \leq 1$,左端是“长度的平方和,减去长度的立方”,右端是零量纲,这显然是不成立的。于是我们要“统一量纲”,怎么统一呢?利用已知条件$x+y+z=1$,令
$$\begin{aligned}
x=\frac{a}{a+b+c}\\y=\frac{b}{a+b+c}\\
z=\frac{c}{a+b+c}
\end{aligned}$$
(a,b,c是任意正数)
代入就得到:$4(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \leq (a+b+c)^3$
这样我们必须证明上式对于任意a,b,c都成立,可以发现,上式每一项都具有长度的立方的量纲

要是已知条件是$xyz=1$那该怎么办呢?我们可以令$x=a/b,y=b/c,z=c/a$或$x=\frac{a^2}{bc},y=\frac{b^2}{ac},z=\frac{c^2}{ab}$等等。对于证明不等式,“统一量纲”往往是有效的一步,虽然它未必是必须的或者最简单的。

对称“破缺”

这是本文的核心所在!对称的系统解法相对简单,是因为我们有一个“终极武器”——通过变换让对称的系统变得不对称,往往会化简问题。还记得我们当初是怎样求解二次方程的吗?已知$xy=p,x+y=q$,这是一个对称的系统,我们让$x=a+b,y=a-b$,变成不对称的$a^2-b^2=p,2a=q$,问题并没有变复杂,反而解答更容易了。不等式中也有类似的方法。

例如,要证明$4(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \leq (a+b+c)^3$,这里的a,b,c的地位是等价的,我们让它变得不等价,不妨设$ a \geq b \geq c$,为了进一步显示出三者的地位不等,我们可以设
$b=c+u,a=b+v=c+u+v$
其中u,v均不小于0.

代入到$(a+b+c)^3-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc$中去,会得到什么呢?展开后我们会有:
$(3c+2u+v)^3$
$-4(3c+2u+v)[(c+u+v)(c+u)+(c+u)c+(c+u+v)c]$
$+9(c+u+v)(c+u)c$
$=v^3+2uv^2+cv^2+cuv+cu^2$

可见,每一项都是非负的,因此不等式成立。这里是不对称多项式展开,过程显得非常麻烦,我已经强调过,这不会是一种漂亮的证明方法。

再举另外一个例子,证明$a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0$,就是要展开
$(c+u+v)^3+(c+u)^3+c^3-3(c+u+v)(c+u)c$,得到
$3 c u^2+3 c u v+3 c v^2+2 u^3+3 u^2 v+3 u v^2+v^3$
显然这个式子非负,因此不等式成立。

尾音

本文是BoJone研究不等式的结果,当然这也不是什么新鲜的玩意儿,只是在这里稍作记录,希望能够对大家有帮助。本文采取了物理的一些名称来讲述,原因是BoJone本身是一个物理爱好者,同时也觉得物理数学本身是不分家的,用物理来理解数学,有时能够达到漂亮的效果!^_^当然本文只涉及到了不等式证明的冰山一角,而且由于计算量比较大,顶多只能算一个“机器证明”,对于次数比较高的情况,计算量会非常大,不适合使用。


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