科学空间曾经提到过$e^{i\pi}+1=0$这条被誉为“数学最卓越的公式的公式之一”的公式,而读者们或许很就之前就已经听说过甚至证明过它了。那么,各位读者是否还知道其他的一些关于e,i,π的轶事呢?例如你知道$i^i$等于多少吗?还有$i^{1//i}$呢?

本文就让我们来欣赏一次数学之美!

1719年,意大利业余数学家法格纳诺(1682~1766)得到:
$e^{\pi//4}=[\frac{1-i}{1+i}]^{i//2}$
这又是三者联系起来的一条公式!

也许大家都会认为$i^i$是一个虚数,但事实却很让人意外,欧拉从上式得到:它是一个实数,而且也把e,i,π联系了起来:
$i^i=e^{-\pi//2}$
由此也有$i ln i=-\frac{\pi}{2}$。当然实际上这是一个多值函数。

和$e^{i\pi}+1=0$一样,这条公式也堪称是完美的结晶!类似的还有
$i^{1//i}=e^{\pi//2}$
这条式子很容易就从上一式推导出来。

关于$e^{+- ix}=cos x +- i sin x$的一件有趣的事情是:印度传奇数学家拉马努金在12岁时就独立推出了它。

1975年4月的《科学美国人》上刊登了一个“数学玩笑”:$e^{\pi\sqrt{163}}=262 537 412 640 768 744$,注意这里的右端是一个整数!不过既然都说了这个是国际玩笑,那么事实上它不是一个整数,右端应该等于:
262537412640768743.999999999999250......
据说,也是拉马努金第一个推测出右端“应该”是整数。

还有一条是e和π“同居一室”的无穷级数:
$1/2 \sqrt{e\pi}=1+\frac{1}{1*3}+\frac{1}{1*3*5}+\frac{1}{1*3*5*7}+...+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+...}}}}}$

(内容来源于《不可思议的e》)

有一条著名的用来近似求阶乘的斯特灵公式:$n! \approx \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n$,它也将e和π“收入囊中”。

数学上有一个广义积分(高斯积分):$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi}$

这些公式和定理们都巧妙而让人意外的将e,i,π联系了起来,让我们叹为观止!

才疏学浅的我难以生动地将数学之美呈现给大家,只能在此略略一提,希望能够起到抛砖引玉的作用^_^。


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