这也是我们期末考的题目,是理综的物理题之一。

一个零质量的理想弹簧两端分别系着一个质量为m的质点物体(A左B右),现给A一个向右的速度v0,使得整体开始运动。问弹簧压缩到最短时弹性势能是多少?以及B质点的最大速度是多少?

高中生是通过结合动量守恒和能量守恒来求解的。而我希望通过微分方程把握这个运动的整体信息,顺便验证弹簧能否将A的速度v0完全传递给B。

首先选择向右为正方向。由于A、B都在同一直线上运动,因此这是一个一维的运动问题,令A的坐标为x,B的坐标为y,弹簧原长为l0,劲度系数为k。显然,弹簧的伸长量为$\Delta l=y-x-l$。根据胡克定律,A所受到的弹力为$F=k(y-x-l_0)$。因此可以列出微分方程组

$m\ddot{x}=F$————(1)
$m\ddot{y}=-F$————(2)
$F=k(y-x-l_0)$————(3)

其中初始条件是:
当t=0时,x=0,y=l0,vA=v0,vB=0

(1)+(2)得到:$\ddot{x}+\ddot{y}=0$

$\dot{x}+\dot{y}=v_0$
$x+y=v_0 t+l_0$————(4)
(这里已经根据初始条件确定了积分常数)

(2)-(1)得到:
$m(y-x)''=-2F$
或者写成:
$(y-x-l_0)''=-\frac{2k}{m}(y-x-l_0)$————(5)
令$y-x-l_0=z$,则(5)变成了
$z''=-\frac{2k}{m}z$
这是一道二阶常系数线性微分方程。特征根为$+-i\sqrt{\frac{2k}{m}}$,于是通解可以写成:
$z=C_1 sin(\sqrt{\frac{2k}{m}} t)+C_2 cos(\sqrt{\frac{2k}{m}} t)=y-x-l_0$————(6)

当t=0时,显然有z=0,于是$C_2=0$。对z求导得到
$\dot{z}=C_1 \sqrt{\frac{2k}{m}} cos(\sqrt{\frac{2k}{m}} t)=\dot{y}-\dot{x}$
当t=0时,显然有$\dot{z}=-v_0$,于是$C_1=-v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$

即$y-x=l_0-v_0\sqrt{\frac{m}{2k}} sin(\sqrt{\frac{2k}{m}} t)$————(7)

结合(4)、(7)就可以求出
$x=\frac{v_0 t}{2}+ \frac{v_0}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} sin(\sqrt{\frac{2k}{m}} t)$
$y=l_0+\frac{v_0 t}{2}- \frac{v_0}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} sin(\sqrt{\frac{2k}{m}} t)$

接下来的一切都会有答案了^_^。原来B真的可以得到速度v0的。

遇到问题,用自己所学的知识多加分析,才能够广拓渠道,开阔思维^_^!


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