前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中,有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它,只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下,在此给出证明过程。题目如下:

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足$x f'(x) \leq f(x)$,对于任意的0 < a < b,比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小。

这是填空题,因此我举了两个例子就得出了结果:令f(x)=x,则$a f(b)=b f(a)$;令f(x)=x+1,则$a f(b) < b f(a)$,于是答案就是$a f(b) \leq b f(a)$。

当然,读者们想知道的不是答案,而是怎么想到这两个例子。BoJone在考试的时候一时没有头绪,就想着把已知条件$x f'(x) \leq f(x)$换成等于号,解微分方程$x f'(x) = f(x)$得到f(x)=kx,k是任意常数。用这个例子代入$a f(b)$和$b f(a)$得到恒等,稍稍修改这个例子(加上常数项),就得到不等的例子。于是问题就解决了。

不过真正好的数学是需要严格的证明的,这是傍晚时候想出来的:

要比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小,
只需要比较比较$\frac{a f(b)}{ab}$和$\frac{b f(a)}{ab}$的大小,
即比较$\frac{f(b)}{b}$和$\frac{ f(a)}{a}$的大小,
即证明函数$\frac{f(x)}{x}$的单调性。

而$(\frac{f(x)}{x})'=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}$

题目已经给出$x f'(x) \leq f(x)$,于是$(\frac{f(x)}{x})'=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} \leq 0$。即这是一个递减函数或者是常函数。又因为已知0 < a < b,所以$\frac{f(b)}{b} \leq \frac{ f(a)}{a}$,也就是$a f(b) \leq b f(a)$。

其实BoJone认为这道题目不应该出在填空题,应该出在解答题中,要求写出求解过程。这样的题目才算得上是“锻炼思维的体操”。


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