我们考虑一个球状的星团,并假设它是各向同性的,即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关,ρ=ρ(r)。那么,在半径为r的球形区域内的总质量为:
$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$

想象有一颗质量比较小的恒星(其实相对于星团总质量,每一颗恒星的质量都很小)在星团的引力作用下运动(就好像太阳系绕着银河系运动一样),且恒星并没有受到其他物质(如星际尘埃等)的阻力。我们之前已经证明过,各向同性的球壳内部的引力是为0的,那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律,选择星团球心为参考系,可以得出
$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$

将M(r)代入得到
$\ddot{\vec{r}}=-G[\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx]\frac{\vec{r}}{r^3}$

这是针对普适的情况,假设球状星团是均匀的,即密度ρ是一个常数,那么上式变为

$\ddot{\vec{r}}=-4/3 \pi G\rho \vec{r}$

这居然是和距离成正比的一种力,无疑,这是最简单的情况了!我们把向量$\vec{r}$改成复数z,那么就可以变成

$\ddot{\vec{z}}=-(4/3 \pi G\rho) z=-\mu z$

这是二阶线性微分方程,它的特征方程是$\lambda^2+\mu=0$,解得$\lambda=+-\sqrt{\mu} i$,上述方程的通解就是
$z= C_1 exp (i \sqrt{\mu} t) + C_2 exp (-i \sqrt{\mu} t) $

或者可以改写成关于x,y坐标的三角函数形式,不过BoJone更喜欢复数的形式,呵呵,毕竟运算比较方便。通解表明这是一个周期椭圆运动,角速度就是$\omega=\sqrt{\mu}$,那么运动周期就是:
$T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} $

换句话说,星团内的任何星体都具有大致相等的运动周期!

对于一般的星系,我们都可以用这个公式进行最简单的密度估测!太阳系绕银河系运动周期为2.5亿年,大概是8×1015秒,代入这条公式计算得到
ρ=2.2×10-21 kg/m3

在网上找到:银河系中星际物质的平均密度为每立方厘米1个氢原子;银河系中的星际物质总质量要占银河系总质量的10%;氢原子的质量为1.674×10-27 kg。那么银河系的平均密度应该是:ρ=1.674×10-20 kg/m3

和估测值相比,相差一个数量级。但是就本文的粗糙计算来讲,这已经是相当精确的结果了


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