淡白口蘑.jpg达尔文的进化学说告诉我们,自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种,赋予它们更高的生存几率,久而久之,这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”,进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑,经过长期的选择,优良的形状会被累积下来,换句话讲,这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态(又是一个极值问题了)。好,现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物,一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分,因此,它努力地调整自身的形状,使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的,那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题,理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢?聪明的你是否想到了是一个球体(的一部分)呢?

不过很遗憾,答案并非球体。我们来分析下这个问题,即哪种曲线的旋转体表面积最小,该曲线过$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$。

旋转体曲线.PNG若已知曲线$y=f(x)$是满足条件的曲线,由于两个底面都是已知面积的圆,我们只需要考虑侧面积。旋转体的侧面积计算公式为:
$S=\int_{x_1}^{x_2} 2\pi x\sqrt{dx^2+dy^2}$
$=2\pi\int_{x_1}^{x_2} x\sqrt{1+\dot{y}^2}dx$

这里$\dot{y}=\frac{dy}{dx}$。上述式子的意思就是将立体无限分割,将每一部分的立体当成一个圆台,用圆台的侧面积近似代替,并累积。

至此,问题变成了求一个函数$y=f(x)$使得积分$S=2\pi\int_{x_1}^{x_2} x\sqrt{1+\dot{y}^2}dx$取极值。根据欧拉-拉格朗日方程,应该有
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \left(x\sqrt{1+\dot{y}^2}\right)}{\partial \dot{y}}\right)=\frac{\partial \left(x\sqrt{1+\dot{y}^2}\right)}{\partial y}=0$$

所以有$\frac{\partial (x\sqrt{1+\dot{y}^2})}{\partial \dot{y}}=\frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}=C_1$,C1是积分常数。继而能够推出
$$\dot{y}=C_1\sqrt{\frac{1}{x^2-C_1^2}}$$

这时候,只要两边积分就可以得到:$y=C_1 ln\left|x+\sqrt{x^2-C_1^2}\right|+C_2$。或者利用双曲函数改写成
$$x=C_1 \cosh\left(\frac{y-C_2}{C_1}\right)$$

可见,这并不是一个圆。这是一个怎样的形状呢?如果设$C_1=2,C_2=0$,则利用几何画板可以画出
蘑菇的最优曲线.PNG

显然,该形状还是比较接近的。另一方面,双曲函数包含着自然对数的底e这个神奇的常数,也就是说,e本来源于自然,也充分体现着自然!这是一个多么和谐的世界!


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