这是一道很多时候都会考到的题目:
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小(其中n非负)。

在小学我们会使用直接计算; 在初中我们会从一些例子找规律; 在高中我们就会直接去证明了。

这道题目的答案是:当n>e时,有$n^{n+1}>(n+1)^n$。

我给出的证明有两个:

证明一:

要证$n^{n+1}>(n+1)^n$,等价于证明$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$。

而在研究e的时候可以知道,对于非负的n,$(1+1/n)^n$是单调递增的;而$\lim_{x->+\infty}(1+1/n)^n=e$,所以$(1+1/n)^n < e$。因此当n>e时,$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$是成立的。证毕。

证明二:

这个证明相对通用一些,可以用来比较$n^{n+m}$与$(n+m)^n$等情况。现在只讨论m=1的情况。

函数$(\frac{ln x}{x})'=\frac{1-ln x}{x^2}$,当x>e时,$\frac{1-ln x}{x^2}<0$,即此时函数$\frac{ln x}{x}$单调递减。若有e $\frac{ln a}{a}>\frac{ln b}{b}<=>\frac{ln a}{ln b}>\frac{a}{b}$

而当n>e时,
$n^{n+1}=(n+1)^{(n+1)*\frac{ln n}{ln(n+1)}}>(n+1)^{(n+1)*\frac{n}{n+1}}=(n+1)^n$

证毕。


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