学过高中物理的同学都会知道,在经典力学和静电学理论中,万有引力和库仑力有着类似的性质,它们都与距离平方成反比。现在我从引力角度向大家提出一个问题:

一块密度均匀的无限大的平面板,它所产生的引力场是否均匀的?也就是说,板外任意一点的等质量物体受到的引力是否相同?



对于静电力也可以提出类似的问题,只要把引力换成库仑力,把质量换成电荷即可。只要类比有限的情况,我们就会得出结论:场一定是不均匀的!因为力与距离平方成反比,距离不同,受力就不等。果真如此吗?

事实往往出人意外,这是一个典型的说明有限与无限有天壤之别的例子:场居然是均匀的!!

一、初等证明

已经学习了多重积分的朋友,可以通过二重积分来计算这一结果,结果就会发现场与距离无关。不过,为了照顾仅仅有一些基本微积分和物理知识的朋友,BoJone决定介绍一个自己想出的相对“初等”的证明方法。首先我们考虑一个半径为r,高h的正圆锥。它的底面圆周上均匀分布着总电荷量为+Q的电荷。

带电圆锥.PNG

由于各向同性的原因,我们可以很快地写出其顶点上的场强为:
$E'=\frac{kQh}{(r^2+h^2)^{3//2}}$

换言之,就是只取竖直方向的分力,因为水平方向的分力都被相互抵消了。该场强的方向为竖直向上。

一个无穷大的、电荷密度为$\sigma $的平面板可以看成无限个半径不等、宽度很小的圆环组成。其上方任意一点可以与这些圆组成无限个正圆锥。其总场强E应该为各圆锥场强的叠加。各圆锥场强近似为
$\Delta E=k\frac{2\pi r\sigma h}{(r^2+h^2)^{3//2}}\Delta r$

因此$E=\int_0^{+\infty}\frac{2k\pi\sigma hr}{(r^2+h^2)^{3//2}} dr=2k\pi\sigma$

最后的结果是一个常数,这就是出人意料的匀强电场!(各位体验到有限与无限的区别了吧?)

二、进一步理解

无限大均匀电荷板场.PNG

不排除有这样的可能,即有的读者仍然不相信或者是不能理解上述结果。BoJone企图再通过一个图来“说明”(而不用计算)这的的确确是一个匀强的场。如上图,我们的目的是证明A点与B点的受力情况是一样的。首先我们分别作出A点与B点在平面的正投影点(图中是只画出了二维,实际是三维),然后以投影点为中心,将平面划分成一个个等圆。其中半径与距离成正比。如图中$\frac{xz}{x'z'}=\frac{AC}{BD}$。

由图得到:圆xy对A点和圆x'y'对B点的场强方向都是$\vec{zA}$,而且大小相等(因为A点的距离小一点,但是圆xy的电荷量也少一点。库仑力与长度平方成反比,而电荷量与长度平方成正比,两者抵消)。也就是说,A点的每一个方向的受力,都可以在B点的位置上找到一个等效的受力(记住是无穷大的面)。因此两点的场强相等。

三、足够大平行板的电容

经过上述计算得,如果有两块无限大的平行板,电荷的面密度均为$\sigma$,电性相反,可知板间场强为$4k\pi\sigma$

当两块有限平行板较大时,$4k\pi\sigma$仍然是其板间场强的一个相当好的近似(特别是中心处)。设其正对面积为S,距离为d,$Q=\sigma S$,电容
$C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{Ed}=\frac{Q}{4k\pi\sigma d}=\frac{S}{4k\pi d}$

这就是高中课本提供的用来计算平行板电容的公式!当然这里默认了两板间为真空。若为非真空,则需要乘上一个修正因子,即$C=\frac{\varepsilon S}{4k\pi d}$

以上是BoJone在2011.02.22的计算结果,其中得到了《费恩曼物理讲义》第二卷的启示。


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