Greg Laughlin 文 Shea 译
转载自科学松鼠会

当牛顿遇上“混沌”,行星的轨道会失控吗?

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这个世界正面临着让人畏缩的问题——气候变化、经济衰退,还有电视真人秀节目——我们所说的“世界”通常指的是生活在地球这颗行星表面的生命,而非地球本身。我们想当然地认为行星的轨道具有高度的稳定性。没有人担心水星会在内太阳系中失控。也没有人认真地思考过火星会和地球相撞。毕竟,行星已经稳定地绕太阳转动了45.4亿年。如果有哪里不对劲的话,你会认为它早就该发生了。

然而,对太阳系稳定性的严格证明一直是天文学中悬而未决和最让人伤脑筋的问题之一。新发现的数百颗太阳系外行星又激发起了人们对这个问题新的兴趣。许多太阳系外行星有着长椭圆轨道(大偏心率),暗示它们是以前行星“骚乱”时期的幸存者。在一些拥有两颗或者更多行星的行星系统中,我们可以看到大尺度的轨道不稳定性确实发生在它们之间的清晰证据。例如,在包含有三颗行星的仙女υ中,最外面的两颗行星具有大偏心率轨道,它们的形状和指向可以认为是在这个系统尚年轻时有第四颗行星被抛射出去而造成的。即使在25亿年(仙女υ的年龄)后,这一抛射的迹象依然清晰可见;每8千年这个系统就会再现那场灾难刚发生后不久的大偏心率构形。

并不那么简单

牛顿第一个认识到了行星轨道的物理本质。他的万有引力定律——描述了物体间的吸引力和它们的质量以及距离之间的关系——漂亮地解释了太阳系行星的运动秩序。利用牛顿定律,根据行星目前的位置和速度以及它所受到的所有引力可以预测这颗行星未来的运动轨迹。太阳占据了太阳系中99.8%的质量,因此做为一个非常好的近似,每颗行星的轨道可以被描述成一个个彼此独立并且焦点位于太阳的椭圆。

如果真能如此操控一切,每一颗行星的轨道都会永远保持不变。但是,行星之间还存在微小的相互吸引。结果是,这些微小的效应并不会一直保持“低调”。只要时间足够长,它们会以复杂并且意料之外的方式累积起来进而产生压倒性的效果。

即便是在牛顿那个年代,对行星运动的观测就已经达到了非常高的水平。开普勒证明,行星在天空中的奇特轨迹可以用三维空间中一个简单的椭圆来解释。但直到三代人之后,牛顿时代的天文学家才以足够的精度确定了行星的运动轨迹,以此揭示出了它们和完美椭圆之间的偏差。

牛顿知道行星之间的吸引会改变它们的轨道,同时他也特别渴望能解释木星和土星轨道的一个显著特性。在整个16和17世纪,天文学家发现,木星正在缓慢地螺旋向内运动,而土星则正在逐渐向外。如果这一趋势继续进行几万年的话,整个太阳系就会陷入危机。虽然付出了巨大的努力,但牛顿无法用他的理论来解释正在发生的这一现象。其中的数学实在是太吓人了。在一封信中,他含蓄地承认了失败:“…如果我没有弄错的话,同时考虑所有对(行星)运动的影响并且使用简单计算即可得的精确定律来定义这些运动超出了人类思维所能及的范围。”

牛顿在解释木星和土星“迷途”轨迹上的失败为18世纪最杰出的数学家提供了巨大的动力。1776年拉普拉斯攻克了这一难题。他证明,木星和土星的轨道会在一个平均值附近出现周期为数千年的振荡,这是由于木星绕太阳公转五圈的时间正好和土星公转两圈的时间相等造成的。这一“共振”使得它们施加在彼此身上的扰动可以连续累加达数百年。一系列看似可以忽略的影响,只要时机恰当也能产生非常实实在在的长期效果。

在建立了他的理论之后,拉普拉斯可以有效地来反演太阳系,进而预报古代行星在天空中的位置。他的结果和2千年前巴比伦人的观测惊人地吻合,根据他自己的说法“公元前228年3月1日4时23分(巴黎时间),土星位于恒星室女γ下方两个手指处”。这一在纵横数千年里确定土星位置的成功使得他对于自己理论的正确性拥有极端的自信,并毫无疑问地导致了拉普拉斯决定论——如果你知道宇宙中所有粒子现在的位置和速度,那么就能精确地知道它们的整个未来。

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[图片说明]:完美可预知性的终结。左:拉普拉斯(1749-1827),非凡的数学天才,解决了木星和土星轨道的缓慢变化之谜。这一成功帮助导致了“拉普拉斯决定论”——如果你知道宇宙中每一个粒子目前的状态,就能彻底地预言它们的整个未来。中:勒威耶(1811-1877),他所在时代的杰出数学天才,第一个发现了完美轨道决定论存在问题。右:庞加莱(1854-1912)证明根本无法预言行星在遥远未来的位置。即使是它们目前轨道中微观的不确定性也最终会通过蝴蝶效应迅速演变成压倒性的不可预知性。

可预知的梦想

在拉普拉斯的公式下,太阳系是完全稳定的。他的数学框架不允许行星的周期存在任何长期演化,而且拉普拉斯认为他已经证明了行星的轨道是“牢不可破”的。

然而,到19世纪中太阳系这部精密的机器开始出现了裂缝。天文学家逐渐开始明白,拉普拉斯理论中的基本近似方法使得它无法适用于数千年以上的时间跨度。勒威耶(他根据海王星对天王星的摄动精确地预报了海王星的存在)警告,太阳系可能并不像拉普拉斯所说的那么精准。几十年内,这个问题变得日益紧迫。一个奖金颇丰的国际竞赛也应运而生,第一个证明行星轨道稳定性的人将获得由瑞典国王奥斯卡所颁发的金牌和2,500克朗的奖金。

让人沮丧的是,由庞加莱提交并最终胜出的证明却是这个问题不可解。庞加莱证明,即使一个仅仅包含了一颗恒星和两颗行星的简单系统也是“不可积”的,即找不到一个公式能永远告诉你这两颗行星的位置——进一步也无法对它们轨道的长期稳定性给一个“是”或者“否”的回答。

庞加莱的工作领先了他所在的时代差不多100年,他第一个暗示了混沌理论以及现在被广为人知的“蝴蝶效应”——系统中一个微小的扰动会产生压倒性的效果。(这个词来自大气建模中的发现,即便是一只巴西的蝴蝶在风中搧动翅膀也会在几个月之后改变全球的天气。)庞加莱的工作证明,太阳系的确定轨道无法外推至无穷远,同时任何有关行星命运的结论都必须用概率来表达。

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[图片说明]:最坏的情况。如果水星在接下去的60亿年里落入了和木星的共振,它的轨道最终会被拉长并穿越金星的轨道——随后水星可能会被抛射到任何地方,其中也包括了和地球间可能发生的碰撞。但水星在太阳死亡前失控的概率仅有大约1%。

强力解

在当代,有三件事情使得这一曾经晦涩难懂的天体力学领域得以获得新生。空间飞行对行星的位置和空间探测器轨道的精度要求极高。超级计算机通过在大量小时间跨度上反复计算行星的位置和速度进而对未来行星的运动进行高精度强力模拟。第三,太阳系外行星(包括具有共振和混沌迹象的多行星系统)的发现重新唤起了对太阳系命运的兴趣。

20世纪80年代,许多天文学家使用超级计算机研究了太阳系动力学中的微妙之处。这些计算的成果之一就是直接彰显了太阳系确实是混沌的,更重要的是能进行有效轨道预报的时间跨度只有几百万年——远远小于太阳系的年龄。举个例子,即使现在行星的位置能被确定到误差小于一个原子的直径,但你仍然无法准确地预报1亿年之后它们的位置。我们没有办法确切知道公元100,000,000年1月1日元旦这一天是出现在冬季还是夏季以及地球是否还在绕太阳转动。

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1995年巴黎天文台勒威耶的“后来人”Jacques Laskar发表了一个有趣的数值实验的结果。在计算机代数的帮助下,他发展出了一种可以在时间上向前推进行星运动的近似方法。实现这一方法的计算机程序包含了超过15万项,它们描述了行星间微妙的引力相互作用,使得他可以在计算机中以200年为一步向前推动太阳系的演化。由此他也成为了第一个在超过十亿年的时间跨度上研究太阳系多种可能演化过程的人。

那么是否有结果表明太阳系中的行星可能会打破它们由来已久的轨道呢?

在向前演化了5亿年之后,Laskar的程序没有显示灾难将要发生的明显趋势。木星、土星、天王星和海王星这些巨行星没有显示出任何不稳定的迹象。(我们现在认为它们在1千万亿年的时间跨度上都是稳定的。)但类地行星则呈现成了微妙的混沌和轨道的漂移,其中尤其是水星最终有可能会失控。

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[图片说明]:害群之马。看似无辜的水星却是掌控这太阳系是否失控的唯一关键。

Laskar因此专门进行了一项实验来研究水星的运动情况。为此,他检查了他5亿年的计算,从中挑选出了水星椭圆轨道偏心率达到最大的那一刻。然后,他用这一时刻的轨道构形做为另外四个几乎完全相同的太阳系模型的初始条件,而在这四个模型中仅有地球轨道存在完全无法可观测到的微小差异。当他在时间上向前演化这四个模型时,一开始它们彼此齐头并进,但在几百万年之后蝴蝶效应开始显现,不同的模型出现了不可避免的差异。

在这四个模型都完成了5亿年的演化之后,Laskar会再一次检查行星的轨道,并从中挑选出水星偏心率达到最大的那一刻。接着他会以此做为另外新的四个数值模拟的初始条件,再一次重复上面的步骤。

在重复了十几次之后,就会产生大量可能的结果。Laskar发现,在其中一些结果里水星的轨道会被拉长并且出现和金星轨道相交的危险情况。轨道相交通常会导致灾难:碰撞、会导致潮汐力撕碎一颗或者两颗行星的密近交会或者是把一颗行星完全抛射出太阳系。

对于地球而言,它的结果包括了从经历更频繁的小行星碰撞到直接被摧毁不等。

今天的图景

Laskar1994年的结果第一次有力地证明,即便没有外界的影响,在太阳做为一颗燃烧氢的恒星所剩下的60亿年时间里也会出现轨道混沌。不过,一些重要的问题仍有待回答。重复选择看似最不稳定的轨道到底有多大的“帮助”?如果进行一次从头到尾的模拟,太阳系能维持多久?是什么机制使得水星的轨道失稳?最后,如果在计算中考虑了广义相对论的微妙作用,结果是不是会有不同?

这些问题最近都得到了回答。多个彼此独立的小组进行了数值模拟,发现了太阳系的唯一致命弱点——使得水星失控的机制。正是由于木星的引力作用,水星一直处于危险之中。

行星间的引力会造成一系列轨道相对于完美椭圆的偏离效果。在这些扰动中最显著的就是轨道进动。当一个轨道发生进动的时候,其椭圆的长轴会改变指向,因此行星的近日点也会沿顺时针或者逆时针方向缓慢但稳定地移动。水星轨道目前的进动速度为每年0.16°,而木星的则为每年0.23°。但数值模拟显示,在非常长的时间下,引力作用会使得水星的进动速率大幅提升。最具有戏剧性的是,如果水星的进动速率接近木星的话,就会引发长期共振,这会迫使水星轨道的进动和木星的同步。

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[图片说明]:灾难之路。水星具有一条偏心率适中的轨道。木星的轨道(不在此图之内)也有偏心率,但较之更小。这两条椭圆轨道的长轴分别被称为“拱线”,它们会缓慢地沿着逆时针方向(蓝色箭头)进动。如果两者的速率达到同步,那么如图所示水星的轨道会被拉得越来越长,直到它和金星的轨道相交。此时,水星和金星间的密近交会会把它们朝任何一个方向甩出去,由此也把混沌传播遍整个内太阳系。

长期共振的形成还会带来其他的麻烦。在数百万年的时间里,木星会逐渐地提取水星轨道的角动量。这一效应在大质量的木星身上几乎看到不到效果,但对于小得多的水星而言它的轨道偏心率会增大到能引发灾难的程度。

现在的计算机已经发展到了能够进行数千次太阳系模拟的程度,其中每一个都不采用近似方法而且还包含了广义相对论以及诸如小行星谷神星和月球等天体的影响。2009年夏,Laskar和他的合作者Mickael Gatineau公布了迄今所进行的最庞大的研究结果,他们共进行了2,501组太阳系模拟。

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[图片说明]:建模水星。上图:在绝大多数水星的长期模拟中,一切都波澜不惊。这里显示的是水星轨道偏心率的典型变化,从现在开始到未来的20亿年中没有剧烈的起伏。(偏心率为0意味着以太阳为中心的圆轨道。偏心率为1则是一条以太阳为端点的、形似直线的椭圆轨道。目前水星的偏心率为0.21。) 下图:然而在少数情况下,水星会失控。在这一模拟中,其作者会从中挑选出水星偏心率较大的时刻,并以此做为“分支点”开始四组新的模拟。当这些新的模拟中水星又出现大偏心率时,再一次将其做为分支点,循环往复。在这些模拟中内太阳系偶然会出现失控的结果。

这些模拟包含了大量的细节。例如,它们显示,我们很幸运爱因斯坦是对的。著名的广义相对论效应会为水星的进动速率增加额外的每年0.43个角秒。这使得水星的轨道很难与木星发生危险的长期共振。如果没有这一广义相对论效应,水星轨道失稳的概率为10%。但有了广义相对论的作用,在太阳死亡前太阳系失控的可能性仅有大约1%。

虽然很小,但1%的概率仍然是不可忽略的。Laskar和Gastineau计算出了几种太阳系未来可能的轨道,其中地球的情况都不妙。在其中尤其剧烈的一种情况下,地球会和火星发生毁灭性的直接碰撞。在另一种情况下,火星会在距离地球表面仅几百千米的地方掠过。虽然没有撞上,但这也绝非是一件好事。在地球和火星逐渐靠近的过程中潮汐拉伸和挤压作用会把地球加热到完全能熔化地壳和地幔的程度。地球的海洋会蒸发成一个包围着全球性岩浆海的水蒸汽大气。

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[图片说明]:密近交会。行星间的密近交会和碰撞一样糟糕。如图所示的计算机模拟显示,如果火星从距离地球足够近的地方掠过,潮汐力会使得较小的行星严重变形、自转加快,并且还会有大量的岩幔被拽出,形成小行星大小的岩石和残块流——其中一些会被地球俘获,引发灾难性的后果。在这里地球被不现实地显示为一个球形。在真实的情况下它也会出现暂时的变形。事实上,地球和火星间极端的密近交会耗散地球内部大量的潮汐能,使得整颗行星熔化。即使地球和火星根本没碰上,地球也会成为一个岩浆星球。

我个人更愿意看着那99%而不是剩下的1%。现在对于太阳系稳定性这一数百年之久的问题我们已经有了一个确定的概率解。在接下去的5千万年里任何行星都不会失控。在太阳面对其60亿年之后的终点时,行星则确实会展现出它们不同寻常的轨迹。

Gregory Laughlin是美国加州大学圣克鲁兹分校的天文学教授,他的主要研究集中在太阳系外行星及其发现。Laughlin还管理着由高级天文爱好者参与的行星搜寻计划Transitsearch.org

木星卫星的不稳定性

Landon Curt Noll 文 Shea 译

1771年拉普拉斯意识到,木星四颗最大的卫星中的三颗有着密切的关系。在时间上木卫三绕木星转动一周的时间正好和木卫二绕木星两周以及木卫一绕木星四周的时间相等。为了纪念拉普拉斯,天文学家把发生在任何三个或者更多天体间的轨道共振称为拉普拉斯共振。木卫一、木卫二和木卫三是太阳系中唯一已知的案例。

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[图片说明]:木卫一。版权:NASA/JPL。

它们4:2:1共振的结果之一就是它们之间相互的引力摄动使得它们的轨道始终偏离正圆。对于最靠近木星的木卫一来说,正是其椭圆轨道造就了它著名的潮汐作用,木卫一的本部由此被加热进而使得它成为了太阳系中火山活动最活跃的地方。在42个小时里,木卫一就会绕木星一圈,在这个过程中它的部分表面会抬升、下落多达100米!做为比较,月亮引发的“地球潮”不足1米。

在一篇发表于2009年6月18日《自然》杂志的论文中,Valéry Lainey、Jean-Eudes Arlot、??zgür Karatekin和Tim Van Hoolst计算发现,木卫一上的潮汐作用会以90万亿瓦的功率向其内部注入能量,这个数字是地球上所有发电厂容量的5倍多。木卫一不同寻常的潮汐加热所产生的平均表面热流量大约是地球的25倍。这些计算和使用红外望远镜对木卫一所进行的测量相一致,这还说明木卫一的内部处于热平衡状态——因此木卫一的热量来自潮汐而并非是其核心的放射性衰变或者是其形成过程中残留下来的热量。

一些科学家假设,木卫一会从其他伽利略卫星处汲取能量,由此在它们的轨道收缩时来维持4:2:1共振。与之相反的是,Lainey及其同事使用116年来对木星卫星位置的观测数据,得出它们之间拉普拉斯共振正在缓慢瓦解。他们发现在1891年以来木卫一的轨道已经向木星移动了55千米,而木卫二和木卫三则分别向外运动了125和365千米。

下图显示的是施加在木卫一上的数个较大的作用力中的两个。Lainey及其同事证明,右图中向内的作用力要大于左图中向外的作用力,导致木卫一朝向木星运动。类似成对出现的作用力也会出现在木卫二和木卫三身上,但向外的力占据了主导,因此它们正在远离木星。

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[图片说明]:左图:来自木卫一的引力会引发木星上的潮汐。木星10个小时的自转(比木卫一42小时的公转快)会把潮汐隆起带到两者连线的前方。前导潮汐隆起会向前拉动木卫一,使之加速并由此稍稍远离木星。右图:木星也会在木卫一上造成潮汐隆起。就像月亮,木卫一也总是只有一侧朝向木星,但并不完全。木卫一的轨道是椭圆形的——因此它在靠近木星的时候会加速。在这期间它的自转会滞后于公转。于是木星的引力会拉动木卫一的潮汐隆起使之加速。这部分加速的能量来自木卫一的轨道能,所以木卫一会变得更靠近木星。这一效应会超过上面所提到的另一个。

伽利略卫星正在慢慢地脱离拉普拉斯共振出乎了许多人的意料。Lainey及其同事并没有对这一共振会在何时瓦解做出预言。但当它发生之时,木卫一的轨道会变得更圆,其潮汐效应也会大为减弱,木卫一上的火山活动也会停止。

那么再然后呢?要预言伽利略卫星的命运还需要更好的数据和认识。也许当拉普拉斯共振瓦解的时候,来自木星的潮汐力会再一次把木卫一向外推,木卫一、木卫二和木卫三会再一次进入共振状态,使得木卫一上的火山苏醒。

也许这一过程已经发生了好几次?我们既无法确定地预言伽利略卫星的未来,也无法追踪它们的过去。例如,我们还不知道木卫四是否也参与了其他三颗卫星的共振。但我们知道的一件事情是我们很幸运地正好处于伽利略卫星的活跃期能目睹这一现象的发生。

Landon Curt Noll是一位思科系统的计算机安全专家,同时也是美国天文学会的会员。他乐于在弗莱蒙特峰天文台做演讲(www.fpoa.net)并且把新的研究成果加入到他的天文学网页(www.isthe.com/astro)中。


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