很多读者都知道,反射望远镜、射电望远镜、太阳能集热器等都有一个抛物状的面,它们都是利用了抛物面能将平行射入的光汇聚到一个点(焦点)上的性质。如果问为什么抛物面具有此性质,相信很多高中生都可以利用抛物线的相关知识来证明。但是,如果反过来问:为什么具有此性质的曲面是抛物面?相信会难倒一部分读者。我们来尝试寻找这一曲线(由于对称的原因,这个曲面可以看作由曲线旋转而成,因此我们可以研究曲线)。

世上最大单孔径射电望远镜.jpg

反射示意图.PNG

作出如上图的反射示意图,构造一个单位常向量$\vec{C}$(方向固定,$|\vec{C}|=1$),以表示平衡射入的光的方向;并构造从聚光点出发的向量$\vec{r}$,以表示曲线的轨迹,且记$|\vec{r}|=r$。根据“反射角=入射角”,$\vec{r}$、$\vec{C}$与$d\vec{r}$的夹角应当相等。于是有

$\vec{C}*d\vec{r}=\frac{\vec{r}*d\vec{r}}{r}$(考虑等式两边的意义,并联系向量点积的定义和计算就可以推出)

我们有恒等式:$\vec{r}*d\vec{r}=rdr$(注意dr是$d(|\vec{r}|)$而不是$|d\vec{r}|$),代入立马得到

$\vec{C}*d\vec{r}=dr$

积分一次,得
$\vec{C}*\vec{r}=r+K$

K是常数,如果换回直角坐标系或极坐标系,就可以发现上式是一道抛物线方程。于是问题得解。

在上述讨论中,我们只用到了寥寥几步,这充分体现了向量的巨大好处。BoJone一开始是直接用直角坐标系列方程$dy\sqrt{x^2+y^2}=xdx+ydy$,然后换元为极坐标,尤显麻烦。

此问题提出于一年前,源于爱因斯坦向青少年提出的十大思考问题之“不随太阳移动而移动的太阳炉”。BoJone于2010.11.03作出解答。此题可以说是BoJone列出的首道微分方程,在当时不要说解答了,就连列出这道方程也费了不少功夫。那时候刚刚接触微积分和微分方程,还没有系统地接触向量等知识,仅仅利用薄弱的解析几何知识及各种暴力方法,才列出了方程,最终通过老师来解。还有上篇所提到过的“追牛问题”,也是BoJone比较早接触的微分方程实题之一。对这类问题的初步接触,导致了我对深入研究数学的向往,推动了我去研究数学。


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